Страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

760 а) Два поезда, встретившись на разъезде, продолжали движение каждый в своём направлении. Скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого. Через 3 ч расстояние между ними было 480 км. Найдите скорость каждого поезда.

б) Два автомобиля едут по шоссе навстречу друг другу. Скорость одного из них на 10 км/ч меньше скорости другого. Через 2 ч после того, как они встретились, расстояние между ними стало равным 260 км. Найдите скорость каждого автомобиля.

а) Пусть скорость одного поезда, который медленнее, равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость второго поезда на 20 км/ч больше и равна $(x + 20)$ км/ч.

После встречи поезда движутся в противоположных направлениях. Скорость их удаления друг от друга равна сумме их скоростей. Это называется скоростью удаления.
$v_{удал} = v_1 + v_2 = x + (x + 20) = 2x + 20$ км/ч.

Расстояние между объектами ($S$) равно скорости их удаления ($v_{удал}$), умноженной на время движения ($t$). По условию, через $t = 3$ ч расстояние стало $S = 480$ км. Составим уравнение:
$S = v_{удал} \times t$
$480 = (2x + 20) \times 3$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$2x + 20 = 480 \div 3$
$2x + 20 = 160$
$2x = 160 - 20$
$2x = 140$
$x = 140 \div 2$
$x = 70$ км/ч.

Мы нашли скорость первого (более медленного) поезда. Теперь найдем скорость второго поезда:
$x + 20 = 70 + 20 = 90$ км/ч.

Ответ: скорости поездов равны 70 км/ч и 90 км/ч.

б) Пусть скорость одного автомобиля (более быстрого) равна $x$ км/ч. Тогда, по условию, скорость второго автомобиля на 10 км/ч меньше и равна $(x - 10)$ км/ч.

После встречи автомобили продолжили движение и стали удаляться друг от друга в противоположных направлениях. Скорость их удаления равна сумме их индивидуальных скоростей:
$v_{удал} = v_1 + v_2 = x + (x - 10) = 2x - 10$ км/ч.

Через $t = 2$ ч после встречи расстояние между ними стало $S = 260$ км. Используем ту же формулу $S = v_{удал} \times t$ и составим уравнение:
$260 = (2x - 10) \times 2$

Решим уравнение для нахождения $x$:
$2x - 10 = 260 \div 2$
$2x - 10 = 130$
$2x = 130 + 10$
$2x = 140$
$x = 140 \div 2$
$x = 70$ км/ч.

Это скорость более быстрого автомобиля. Теперь найдем скорость второго (более медленного) автомобиля:
$x - 10 = 70 - 10 = 60$ км/ч.

Ответ: скорости автомобилей равны 60 км/ч и 70 км/ч.

761 Решите задачу (переформулируйте условие так, чтобы было легче составить уравнение):

а) От станции к озеру вышел пешеход со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Через $0,5 \text{ ч}$ вслед за ним от этой же станции и по той же дороге отправился велосипедист со скоростью $12 \text{ км/ч}$. К озеру они прибыли одновременно. Определите, сколько времени шёл пешеход и чему равно расстояние от станции до озера.

б) Из города Новый в город Молодёжный одновременно выезжают автобус и легковой автомобиль. Скорость автомобиля $80 \text{ км/ч}$, а скорость автобуса $60 \text{ км/ч}$. Автомобиль приезжает в город Молодёжный на $2 \text{ ч}$ раньше автобуса. Определите, сколько времени ехал автобус и чему равно расстояние между городами.

а)

Переформулируем условие задачи: Пешеход и велосипедист прошли одно и то же расстояние от станции до озера. Скорость пешехода $4 \text{ км/ч}$, а скорость велосипедиста $12 \text{ км/ч}$. Так как велосипедист выехал на 0,5 часа позже и прибыл одновременно с пешеходом, время его движения было на 0,5 часа меньше, чем время движения пешехода. Нужно найти время движения пешехода и расстояние.

Пусть $t$ часов – время, которое шёл пешеход. Тогда велосипедист ехал $(t - 0,5)$ часов.

Расстояние, которое прошёл пешеход, равно $S = v_{пеш} \cdot t = 4t \text{ км}$.

Расстояние, которое проехал велосипедист, равно $S = v_{вел} \cdot (t - 0,5) = 12(t - 0,5) \text{ км}$.

Так как они преодолели одинаковое расстояние, мы можем приравнять эти два выражения и составить уравнение:

$4t = 12(t - 0,5)$

Решим это уравнение:

$4t = 12t - 6$

$12t - 4t = 6$

$8t = 6$

$t = 6/8 = 3/4 = 0,75$

Таким образом, время в пути пешехода составляет 0,75 часа.

Теперь найдём расстояние от станции до озера, подставив значение $t$ в формулу для расстояния пешехода:

$S = 4 \cdot 0,75 = 3 \text{ км}$.

Ответ: пешеход шёл 0,75 часа, расстояние от станции до озера равно 3 км.

б)

Переформулируем условие задачи: Автобус и легковой автомобиль проехали одинаковое расстояние между городами Новый и Молодёжный. Скорость автобуса $60 \text{ км/ч}$, а скорость автомобиля $80 \text{ км/ч}$. Так как автомобиль приехал на 2 часа раньше, его время в пути было на 2 часа меньше, чем время в пути автобуса. Нужно найти время движения автобуса и расстояние между городами.

Пусть $t$ часов – время, которое ехал автобус. Тогда легковой автомобиль ехал $(t - 2)$ часов.

Расстояние, которое проехал автобус, равно $S = v_{авт} \cdot t = 60t \text{ км}$.

Расстояние, которое проехал автомобиль, равно $S = v_{лег} \cdot (t - 2) = 80(t - 2) \text{ км}$.

Так как они проехали одинаковое расстояние, приравняем выражения:

$60t = 80(t - 2)$

Решим полученное уравнение:

$60t = 80t - 160$

$80t - 60t = 160$

$20t = 160$

$t = 160 / 20 = 8$

Следовательно, время в пути автобуса составляет 8 часов.

Теперь найдём расстояние между городами, подставив значение $t$ в формулу для расстояния автобуса:

$S = 60 \cdot 8 = 480 \text{ км}$.

Ответ: автобус ехал 8 часов, расстояние между городами равно 480 км.

Решите задачу на движение по реке (762–763).

762 а) Катер по течению реки прошёл за 3,5 ч такое же расстояние, какое он проходит за 4 ч против течения реки. Собственная скорость катера $30 \text{ км/ч}$. Определите скорость течения реки. Какое расстояние прошёл катер по течению реки?

б) Теплоход прошёл расстояние между пристанями по течению реки за 4 ч, а против течения реки за 5 ч. Определите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$. Чему равно расстояние между пристанями?

а) Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Собственная скорость катера, то есть его скорость в стоячей воде, составляет $v_{соб} = 30$ км/ч. Тогда скорость катера по течению реки равна $v_{по} = v_{соб} + x = (30 + x)$ км/ч, а скорость против течения равна $v_{против} = v_{соб} - x = (30 - x)$ км/ч.
Время движения катера по течению $t_{по} = 3,5$ ч, а против течения $t_{против} = 4$ ч.
Согласно условию, расстояние, пройденное катером по течению ($S_{по}$), равно расстоянию, пройденному против течения ($S_{против}$). Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, составим и решим уравнение:
$S_{по} = S_{против}$
$v_{по} \cdot t_{по} = v_{против} \cdot t_{против}$
$(30 + x) \cdot 3,5 = (30 - x) \cdot 4$
$105 + 3,5x = 120 - 4x$
$3,5x + 4x = 120 - 105$
$7,5x = 15$
$x = \frac{15}{7,5}$
$x = 2$
Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч.
Теперь найдем расстояние, которое прошёл катер по течению реки:
$S_{по} = (30 + 2) \cdot 3,5 = 32 \cdot 3,5 = 112$ км.
Ответ: скорость течения реки — 2 км/ч, расстояние, которое прошёл катер по течению реки, — 112 км.

б) Пусть $y$ км/ч — собственная скорость теплохода. Скорость течения реки известна и равна $v_{теч} = 2$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению составляет $v_{по} = y + 2$ км/ч, а против течения — $v_{против} = y - 2$ км/ч.
Время движения по течению $t_{по} = 4$ ч, а против течения $t_{против} = 5$ ч.
Расстояние между пристанями одинаково в обоих направлениях, поэтому мы можем приравнять выражения для расстояния:
$S_{по} = S_{против}$
$v_{по} \cdot t_{по} = v_{против} \cdot t_{против}$
$(y + 2) \cdot 4 = (y - 2) \cdot 5$
Решим полученное уравнение:
$4y + 8 = 5y - 10$
$5y - 4y = 8 + 10$
$y = 18$
Следовательно, собственная скорость теплохода равна 18 км/ч.
Теперь найдем расстояние между пристанями, используя данные для движения по течению:
$S = (18 + 2) \cdot 4 = 20 \cdot 4 = 80$ км.
Ответ: собственная скорость теплохода — 18 км/ч, расстояние между пристанями — 80 км.

763 a) Лодка проплыла некоторое расстояние от пристани по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 8 ч. Собственная скорость лодки 8 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. Определите, сколько времени плыла лодка по течению реки и чему равно всё расстояние, которое она проплыла.

б) Пловец плыл 10 мин по течению реки и 15 мин против течения и проплыл всего 2100 м. Определите собственную скорость пловца (в м/мин), если скорость течения реки 30 м/мин.

а)

Обозначим искомые величины:
$t_{по}$ – время, которое лодка плыла по течению, в часах.
$S_{общ}$ – всё расстояние, которое проплыла лодка, в км.

По условию задачи известны:
Собственная скорость лодки: $v_{соб} = 8$ км/ч.
Скорость течения реки: $v_{теч} = 2$ км/ч.
Общее время в пути: $t_{общ} = 8$ ч.

1. Найдём скорость лодки по течению и против течения.
Скорость по течению: $v_{по} = v_{соб} + v_{теч} = 8 + 2 = 10$ км/ч.
Скорость против течения: $v_{против} = v_{соб} - v_{теч} = 8 - 2 = 6$ км/ч.

2. Составим уравнение.
Пусть $t_{по}$ – время движения по течению. Тогда время движения против течения будет $t_{против} = t_{общ} - t_{по} = 8 - t_{по}$.
Лодка проплыла одинаковое расстояние $s$ от пристани и обратно. Расстояние равно произведению скорости на время ($s = v \cdot t$).
Расстояние по течению: $s = v_{по} \cdot t_{по} = 10 \cdot t_{по}$.
Расстояние против течения: $s = v_{против} \cdot t_{против} = 6 \cdot (8 - t_{по})$.
Приравняем эти два выражения для расстояния:
$10 \cdot t_{по} = 6 \cdot (8 - t_{по})$

3. Решим уравнение и найдём время движения по течению.
$10 t_{по} = 48 - 6 t_{по}$
$10 t_{по} + 6 t_{по} = 48$
$16 t_{по} = 48$
$t_{по} = 48 / 16 = 3$ ч.

4. Найдём общее расстояние.
Сначала найдём расстояние в одну сторону, используя время движения по течению:
$s = 10 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 30$ км.
Лодка проплыла это расстояние дважды (туда и обратно), поэтому общее расстояние:
$S_{общ} = 2 \cdot s = 2 \cdot 30 = 60$ км.

Ответ: лодка плыла по течению 3 часа; всё расстояние, которое она проплыла, равно 60 км.

б)

Обозначим искомую величину:
$v_{соб}$ – собственная скорость пловца, в м/мин.

По условию задачи известны:
Время движения по течению: $t_{по} = 10$ мин.
Время движения против течения: $t_{против} = 15$ мин.
Общее расстояние: $S_{общ} = 2100$ м.
Скорость течения реки: $v_{теч} = 30$ м/мин.

1. Выразим скорость пловца по течению и против течения через его собственную скорость $v_{соб}$.
Скорость по течению: $v_{по} = v_{соб} + v_{теч} = v_{соб} + 30$ м/мин.
Скорость против течения: $v_{против} = v_{соб} - v_{теч} = v_{соб} - 30$ м/мин.

2. Составим уравнение.
Общее расстояние – это сумма расстояний, пройденных по течению и против течения.
$S_{общ} = (v_{по} \cdot t_{по}) + (v_{против} \cdot t_{против})$
Подставим известные значения и выражения:
$2100 = (v_{соб} + 30) \cdot 10 + (v_{соб} - 30) \cdot 15$

3. Решим уравнение и найдём собственную скорость пловца $v_{соб}$.
$2100 = 10 v_{соб} + 300 + 15 v_{соб} - 450$
Приведём подобные слагаемые:
$2100 = (10 v_{соб} + 15 v_{соб}) + (300 - 450)$
$2100 = 25 v_{соб} - 150$
Перенесём -150 в левую часть уравнения:
$2100 + 150 = 25 v_{соб}$
$2250 = 25 v_{соб}$
$v_{соб} = 2250 / 25 = 90$ м/мин.

Ответ: собственная скорость пловца равна 90 м/мин.