Страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

801 Одна швея шила фартуки 3 дня, а другая швея шила такие же фартуки 7 дней. Вместе они сшили 135 фартуков. Сколько фартуков в день шила первая швея, если известно, что вторая швея ежедневно шила на 5 фартуков меньше, чем первая?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество фартуков, которое первая швея шила в день. Тогда вторая швея, которая шила на 5 фартуков меньше, шила $(x - 5)$ фартуков в день.

Первая швея работала 3 дня и сшила за это время $3 \cdot x$ фартуков. Вторая швея работала 7 дней и сшила $7 \cdot (x - 5)$ фартуков. Зная, что вместе они сшили 135 фартуков, можем составить уравнение:

$3x + 7(x - 5) = 135$

Теперь решим это уравнение шаг за шагом:

1. Раскроем скобки:
$3x + 7x - 35 = 135$

2. Сложим слагаемые с переменной $x$ и перенесем число -35 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$10x = 135 + 35$
$10x = 170$

3. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 10:
$x = \frac{170}{10}$
$x = 17$

Таким образом, первая швея шила 17 фартуков в день.

Проверим полученный результат:
Производительность первой швеи: 17 фартуков/день.
Производительность второй швеи: $17 - 5 = 12$ фартуков/день.
За 3 дня первая швея сшила: $17 \cdot 3 = 51$ фартук.
За 7 дней вторая швея сшила: $12 \cdot 7 = 84$ фартука.
Вместе они сшили: $51 + 84 = 135$ фартуков.
Результат совпадает с условием задачи, следовательно, решение верное.

Ответ: первая швея шила 17 фартуков в день.

802 Первый токарь работал 3 ч, а второй — 4 ч, и вместе они обточили 75 деталей. Сколько деталей обточил каждый токарь, если известно, что первый токарь обтачивал в час на 3 детали меньше, чем второй?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество деталей, которое обтачивает в час первый токарь. Это его производительность.

По условию, первый токарь обтачивал в час на 3 детали меньше, чем второй. Следовательно, производительность второго токаря на 3 детали в час больше, чем у первого. Таким образом, производительность второго токаря составляет $(x + 3)$ деталей в час.

Первый токарь работал 3 часа и за это время обточил $3 \cdot x$ деталей.

Второй токарь работал 4 часа и за это время обточил $4 \cdot (x + 3)$ деталей.

Вместе они обточили 75 деталей. Можем составить уравнение:

$3x + 4(x + 3) = 75$

Теперь решим это уравнение:

1. Раскроем скобки:
$3x + 4x + 12 = 75$

2. Приведем подобные слагаемые:
$7x + 12 = 75$

3. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$7x = 75 - 12$
$7x = 63$

4. Найдем $x$:
$x = \frac{63}{7}$
$x = 9$

Итак, мы нашли, что производительность первого токаря — 9 деталей в час.

Теперь найдем производительность второго токаря:

$9 + 3 = 12$ деталей в час.

Осталось найти, сколько деталей обточил каждый токарь за свое рабочее время.

Сколько деталей обточил первый токарь:

Первый токарь работал 3 часа с производительностью 9 деталей/час:
$3 \text{ ч} \times 9 \text{ деталей/час} = 27$ деталей.
Ответ: первый токарь обточил 27 деталей.

Сколько деталей обточил второй токарь:

Второй токарь работал 4 часа с производительностью 12 деталей/час:
$4 \text{ ч} \times 12 \text{ деталей/час} = 48$ деталей.
Ответ: второй токарь обточил 48 деталей.

Проверим: $27 + 48 = 75$. Условие задачи выполняется.

Ответ: первый токарь обточил 27 деталей, а второй токарь — 48 деталей.

803 На двух автоматических линиях было упаковано 650 одинаковых коробок конфет. Первые 2 ч работала одна линия, а затем две линии вместе. Определите время работы каждой линии, если известно, что производительность второй линии 100 коробок в час, а первой на 30 коробок меньше.

Для решения задачи последовательно выполним следующие действия:

1. Найдём производительность первой линии.
Производительность второй линии — $100$ коробок в час. Производительность первой линии на $30$ коробок в час меньше.
$100 - 30 = 70$ (коробок/час) — производительность первой линии.

2. Узнаем, сколько коробок упаковала первая линия за первые 2 часа работы.
В начале первая линия работала одна в течение двух часов.
$70 \text{ коробок/час} \times 2 \text{ ч} = 140$ (коробок).

3. Определим, сколько коробок осталось упаковать после двух часов работы первой линии.
Всего было упаковано $650$ коробок.
$650 - 140 = 510$ (коробок).

4. Найдём совместную производительность двух линий.
Когда обе линии начали работать вместе, их производительности сложились.
$70 + 100 = 170$ (коробок/час).

5. Вычислим время совместной работы двух линий.
Оставшиеся $510$ коробок были упакованы с совместной производительностью.
$510 \text{ коробок} / 170 \text{ коробок/час} = 3$ (часа).

6. Определим общее время работы каждой линии.
Первая линия работала $2$ часа одна и $3$ часа вместе со второй. Её общее время работы:
$2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 5$ (часов).
Вторая линия работала только вместе с первой, то есть $3$ часа.

Ответ: первая линия работала 5 часов, вторая линия работала 3 часа.

804 Две автоматические линии расфасовали 460 одинаковых пакетов крупы за 6 ч. Первый час работала одна линия, следующие 2 ч — другая, а в оставшееся время работали обе линии вместе. Определите производительность каждой линии, если известно, что на первой линии за 1 ч фасуется на 20 пакетов меньше, чем на второй.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — производительность первой автоматической линии (пакетов в час), а $y$ — производительность второй линии (пакетов в час).

Из условия задачи известно, что первая линия за 1 час фасует на 20 пакетов меньше, чем вторая. Это можно записать в виде уравнения:

$x = y - 20$

Теперь рассмотрим весь процесс работы. Общее время работы составило 6 часов.

1. Первый час работала только первая линия. За это время она расфасовала: $1 \cdot x = x$ пакетов.

2. Следующие 2 часа работала только вторая линия. За это время она расфасовала: $2 \cdot y$ пакетов.

3. Оставшееся время линии работали вместе. Найдем это время: $6 \text{ ч} - 1 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 3 \text{ ч}$.

За 3 часа совместной работы они расфасовали: $3 \cdot (x + y)$ пакетов.

Общее количество расфасованных пакетов равно 460. Составим второе уравнение, сложив объемы работы на каждом этапе:

$x + 2y + 3(x + y) = 460$

Раскроем скобки и упростим это уравнение:

$x + 2y + 3x + 3y = 460$

$4x + 5y = 460$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} x = y - 20 \\ 4x + 5y = 460 \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$4(y - 20) + 5y = 460$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$4y - 80 + 5y = 460$

$9y - 80 = 460$

$9y = 460 + 80$

$9y = 540$

$y = \frac{540}{9}$

$y = 60$

Таким образом, производительность второй линии составляет 60 пакетов в час.

Теперь найдем производительность первой линии, подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x = 60 - 20$

$x = 40$

Следовательно, производительность первой линии составляет 40 пакетов в час.

Проверим решение:

За первый час первая линия сделала $1 \cdot 40 = 40$ пакетов.

За следующие два часа вторая линия сделала $2 \cdot 60 = 120$ пакетов.

За оставшиеся три часа обе линии вместе сделали $3 \cdot (40 + 60) = 3 \cdot 100 = 300$ пакетов.

Общее количество: $40 + 120 + 300 = 460$ пакетов. Все сходится.

Ответ: производительность первой линии — 40 пакетов в час, производительность второй линии — 60 пакетов в час.

805 Машинистка должна была выполнить набор рукописи на компьютере за 6 дней. Однако она набирала каждый день на 5 страниц больше, и за 2 дня до срока ей оставалось набрать 30 страниц. Сколько страниц в день набирала машинистка?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество страниц, которое машинистка планировала набирать в день.

Поскольку по плану работа должна была занять 6 дней, то общий объем рукописи составляет $6x$ страниц.

Фактически машинистка набирала каждый день на 5 страниц больше, то есть ее производительность была $(x + 5)$ страниц в день.

За 2 дня до срока, то есть за $6 - 2 = 4$ дня, она набрала $4 \cdot (x + 5)$ страниц.

После этого ей осталось набрать еще 30 страниц. Таким образом, общий объем рукописи можно также выразить как сумму выполненной работы и оставшейся: $4 \cdot (x + 5) + 30$ страниц.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общего объема рукописи:

$6x = 4(x + 5) + 30$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$6x = 4x + 20 + 30$

Упростим правую часть:

$6x = 4x + 50$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть:

$6x - 4x = 50$

$2x = 50$

Найдем $x$:

$x = \frac{50}{2}$

$x = 25$

Мы нашли плановую производительность — 25 страниц в день. Вопрос задачи состоит в том, сколько страниц в день машинистка набирала на самом деле. Ее фактическая производительность была на 5 страниц больше плановой:

$25 + 5 = 30$

Ответ: 30 страниц.

806 Высота двери на 30 см больше, чем её удвоенная ширина. Чтобы вставить дверь в дверной проём, её сделали короче на 10 см и уже на 5 см. При этом площадь обрезков составила 1900 см². Определите первоначальные размеры двери.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $w$ — первоначальная ширина двери в см, а $h$ — первоначальная высота двери в см.

Согласно первому условию, "высота двери на 30 см больше, чем её удвоенная ширина". Запишем это в виде уравнения:
$h = 2w + 30$

Дверь сделали короче на 10 см и уже на 5 см. Новые размеры двери стали:
Новая высота: $h_{нов} = h - 10$
Новая ширина: $w_{нов} = w - 5$

Площадь обрезков — это разница между первоначальной площадью ($S = h \cdot w$) и новой площадью ($S_{нов} = (h - 10)(w - 5)$). По условию, площадь обрезков составила 1900 см². Составим второе уравнение:
$S - S_{нов} = 1900$
$h \cdot w - (h - 10)(w - 5) = 1900$

Упростим это уравнение. Сначала раскроем скобки:
$hw - (hw - 5h - 10w + 50) = 1900$
$hw - hw + 5h + 10w - 50 = 1900$
Приведем подобные слагаемые:
$5h + 10w = 1900 + 50$
$5h + 10w = 1950$
Для удобства разделим обе части уравнения на 5:
$h + 2w = 390$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $h = 2w + 30$
2) $h + 2w = 390$

Подставим выражение для $h$ из первого уравнения во второе:
$(2w + 30) + 2w = 390$
Решим полученное уравнение:
$4w + 30 = 390$
$4w = 360$
$w = \frac{360}{4}$
$w = 90$
Таким образом, первоначальная ширина двери равна 90 см.

Теперь найдём первоначальную высоту, подставив найденное значение $w$ в первое уравнение:
$h = 2 \cdot 90 + 30$
$h = 180 + 30$
$h = 210$
Таким образом, первоначальная высота двери равна 210 см.

Ответ: первоначальная ширина двери 90 см, первоначальная высота 210 см.