Страница 224 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Найдите значение выражения $6a^2 - 2a - 1$ при $a = -\frac{1}{4}$.

1
Чтобы найти значение выражения $6a^2 - 2a - 1$ при $a = -\frac{1}{4}$, нужно подставить данное значение переменной $a$ в выражение и выполнить вычисления.

Подставляем $a = -\frac{1}{4}$:
$6 \cdot (-\frac{1}{4})^2 - 2 \cdot (-\frac{1}{4}) - 1$

Выполним вычисления по действиям, соблюдая порядок операций (сначала возведение в степень, затем умножение, и в конце сложение и вычитание):
1. Возводим в квадрат: $(-\frac{1}{4})^2 = (-\frac{1}{4}) \cdot (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{16}$.
2. Выполняем первое умножение: $6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16}$. Сокращаем дробь на 2, получаем $\frac{3}{8}$.
3. Выполняем второе умножение: $-2 \cdot (-\frac{1}{4})$. Произведение двух отрицательных чисел положительно: $2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4}$. Сокращаем дробь на 2, получаем $\frac{1}{2}$.

Теперь наше выражение выглядит так:
$\frac{3}{8} + \frac{1}{2} - 1$

Приведем дроби к общему знаменателю 8:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8}$
$1 = \frac{8}{8}$

Подставляем полученные дроби в выражение и вычисляем:
$\frac{3}{8} + \frac{4}{8} - \frac{8}{8} = \frac{3 + 4 - 8}{8} = \frac{7 - 8}{8} = -\frac{1}{8}$

Ответ: $-\frac{1}{8}$

2 Чему равна степень многочлена $0,3x^2 - 2x^4 + 1,2$?

1) 2

2) 3

3) 4

4) 6

Степенью многочлена стандартного вида называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов. Чтобы найти степень многочлена, нужно определить степень каждого его члена и выбрать наибольшую.

Рассмотрим многочлен: $0,3x^2 - 2x^4 + 1,2$.

Он состоит из трех членов (одночленов):

1. Первый член $0,3x^2$. Его степень определяется показателем степени переменной $x$, то есть степень равна 2.

2. Второй член $-2x^4$. Его степень определяется показателем степени переменной $x$, то есть степень равна 4.

3. Третий член $1,2$. Это свободный член, или константа. Степень константы, отличной от нуля, равна 0 (поскольку $1,2$ можно записать как $1,2x^0$).

Мы получили степени всех членов многочлена: 2, 4 и 0.

Наибольшая из этих степеней – это 4.

Следовательно, степень всего многочлена $0,3x^2 - 2x^4 + 1,2$ равна 4.

Ответ: 4

3 Какую степень имеет многочлен, равный произведению многочленов $(x^2 + 3)(x^3 + 2x - 1)$?

1) 2 2) 3 3) 5 4) 6

Чтобы найти степень многочлена, который является произведением двух других многочленов, необходимо сложить степени этих многочленов-сомножителей.

Рассмотрим произведение многочленов $(x^2 + 3)(x^3 + 2x - 1)$.

Первый многочлен — $(x^2 + 3)$. Его степень определяется по наибольшему показателю степени переменной. В данном случае это $x^2$, поэтому степень первого многочлена равна 2.

Второй многочлен — $(x^3 + 2x - 1)$. Его старший член — $x^3$, следовательно, степень этого многочлена равна 3.

Степень многочлена, который является произведением данных многочленов, равна сумме их степеней:

Степень = $2 + 3 = 5$.

Для проверки можно найти член с самой высокой степенью в произведении. Он получается умножением членов с самыми высокими степенями из каждого многочлена: $x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5$.

Следовательно, результирующий многочлен будет иметь степень 5.

Ответ: 5

4. Упростите выражение $2x^2y - xy^2 + x^2y - 3xy^2 + 2xy$.

Чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо найти и сгруппировать подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть (одинаковые переменные в одинаковых степенях).

Исходное выражение: $2x^2y - xy^2 + x^2y - 3xy^2 + 2xy$.

Сгруппируем подобные члены:

1. Члены с переменными $x^2y$: это $2x^2y$ и $x^2y$.

2. Члены с переменными $xy^2$: это $-xy^2$ и $-3xy^2$.

3. Член с переменными $xy$: это $2xy$. У него нет подобных в данном выражении.

Теперь выполним приведение подобных слагаемых, то есть сложим их коэффициенты:

$(2x^2y + x^2y) + (-xy^2 - 3xy^2) + 2xy$

Складываем коэффициенты для каждой группы:

Для $x^2y$: $2 + 1 = 3$. Получаем член $3x^2y$.

Для $xy^2$: $-1 - 3 = -4$. Получаем член $-4xy^2$.

Член $2xy$ остается без изменений.

Соединяем полученные результаты, чтобы получить окончательное упрощенное выражение:

$3x^2y - 4xy^2 + 2xy$

Ответ: $3x^2y - 4xy^2 + 2xy$

5 Среди выражений, записанных ниже, найдите выражение, равное многочлену $2x - 3y - z$.

1) $-(2x - 3y - z)$

2) $-(2x + 3y + z)$

3) $-(3y - 2x + z)$

4) $-(3y + 2x - z)$

Задача состоит в том, чтобы найти выражение, которое тождественно равно многочлену $2x - 3y - z$. Для этого необходимо раскрыть скобки в каждом из предложенных вариантов и сравнить результат с исходным многочленом. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак "минус", знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

1) $-(2x - 3y - z)$
Раскроем скобки: $-(2x - 3y - z) = -2x + 3y + z$.
Данное выражение не равно $2x - 3y - z$.

2) $-(2x + 3y + z)$
Раскроем скобки: $-(2x + 3y + z) = -2x - 3y - z$.
Данное выражение не равно $2x - 3y - z$.

3) $-(3y - 2x + z)$
Раскроем скобки: $-(3y - 2x + z) = -3y + 2x - z$.
Переставим слагаемые для удобства сравнения: $2x - 3y - z$.
Данное выражение в точности совпадает с исходным многочленом.

4) $-(3y + 2x - z)$
Раскроем скобки: $-(3y + 2x - z) = -3y - 2x + z$.
Данное выражение не равно $2x - 3y - z$.

Таким образом, правильным является вариант под номером 3.

Ответ: 3

6 Среди приведённых ниже выражений найдите выражение, противоположное многочлену $5a - 8b + 1$.

1) $5a + 8b - 1$

2) $-5a + 8b - 1$

3) $-5a + 8b + 1$

4) $-5a - 8b - 1$

Чтобы найти выражение, противоположное заданному многочлену, необходимо изменить знак каждого его члена на противоположный. Это эквивалентно умножению всего многочлена на $-1$.

Исходный многочлен: $5a - 8b + 1$.

Чтобы найти противоположное ему выражение, мы должны взять весь многочлен в скобки и поставить перед ними знак минус:
$-(5a - 8b + 1)$

Теперь раскроем скобки. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:
$5a$ станет $-5a$.
$-8b$ станет $+8b$.
$+1$ станет $-1$.

В результате получаем следующее выражение:
$-5a + 8b - 1$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с выражением под номером 2.

Ответ: 2

7 Какой многочлен надо записать вместо многоточия, чтобы равенство $(-m + n - q) + ... = 0$ было верным?

1) $m - n + q$

2) $m - n - q$

3) $m + n - q$

4) $-m - n + q$

Обозначим искомый многочлен переменной $X$. Тогда данное равенство можно записать в виде уравнения:

$(-m + n - q) + X = 0$

Чтобы найти $X$, выразим его из этого уравнения. Для этого перенесем многочлен в скобках из левой части в правую. Согласно правилам преобразования уравнений, при переносе слагаемого в другую часть его знак меняется на противоположный.

$X = 0 - (-m + n - q)$

$X = -(-m + n - q)$

Теперь необходимо раскрыть скобки. Знак "минус" перед скобками означает, что знаки всех слагаемых внутри скобок нужно изменить на противоположные:

$X = -(-m) - (+n) - (-q)$

$X = m - n + q$

Следовательно, многочлен, который нужно записать вместо многоточия, это $m - n + q$. Этот многочлен является противоположным многочлену $(-m + n - q)$, так как их сумма равна нулю.

Среди предложенных вариантов этот многочлен находится под номером 1.

Выполним проверку, подставив найденный многочлен в исходное равенство:

$(-m + n - q) + (m - n + q) = 0$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:

$-m + n - q + m - n + q = (-m + m) + (n - n) + (-q + q) = 0 + 0 + 0 = 0$

Так как получилось верное равенство $0 = 0$, решение найдено правильно.

Ответ: 1) $m - n + q$

8 Найдите сумму многочленов $2x^3 - 2x$ и $-x^2 + 2x - 1$.

Чтобы найти сумму двух многочленов, нужно записать их сумму и привести подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой переменной в одинаковой степени.

Запишем сумму данных многочленов: $(2x^3 - 2x) + (-x^2 + 2x - 1)$.

Теперь раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «+», знаки слагаемых внутри нее не изменяются:

$2x^3 - 2x - x^2 + 2x - 1$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:

• Слагаемые, содержащие $x^3$: есть только одно, $2x^3$.
• Слагаемые, содержащие $x^2$: есть только одно, $-x^2$.
• Слагаемые, содержащие $x$: это $-2x$ и $+2x$. Их сумма равна $-2x + 2x = 0$.
• Свободные члены (константы): есть только $-1$.

Теперь запишем результат, объединив все полученные члены в стандартном виде (в порядке убывания степеней переменной):

$2x^3 - x^2 + 0 - 1$

Упрощая выражение, получаем:

$2x^3 - x^2 - 1$

Ответ: $2x^3 - x^2 - 1$

9 В выражении $p - q$ подставьте $p = 12ab - 15ac$, $q = 10ab - 15ac + 2bc$ и упростите получившееся выражение.

Чтобы упростить выражение, подставим данные значения p и q в исходное выражение p - q.

Нам даны следующие выражения:
$p = 12ab - 15ac$
$q = 10ab - 15ac + 2bc$

Подставляем их в выражение $p - q$. Важно взять выражение для q в скобки, так как мы вычитаем его целиком:
$p - q = (12ab - 15ac) - (10ab - 15ac + 2bc)$

Теперь раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому все знаки слагаемых внутри этой скобки меняются на противоположные:
$p - q = 12ab - 15ac - 10ab + 15ac - 2bc$

Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью):
$p - q = (12ab - 10ab) + (-15ac + 15ac) - 2bc$

Выполним действия с подобными слагаемыми:
$12ab - 10ab = 2ab$
$-15ac + 15ac = 0$
Слагаемое $-2bc$ остается без изменений.

Собираем все вместе и получаем окончательный вид выражения:
$p - q = 2ab + 0 - 2bc = 2ab - 2bc$

Ответ: $2ab - 2bc$

10 Упростите выражение

$5a^2 - 5a(a - 2)$

Для того чтобы упростить выражение $5a^2 - 5a(a - 2)$, необходимо выполнить несколько последовательных шагов.

Первый шаг — раскрытие скобок. Для этого используется распределительное свойство умножения. Мы умножаем одночлен, стоящий перед скобками (в данном случае $-5a$), на каждый член многочлена, находящегося внутри скобок $(a - 2)$:
$ -5a \cdot a = -5a^2 $
$ -5a \cdot (-2) = 10a $

После раскрытия скобок исходное выражение преобразуется к следующему виду:
$ 5a^2 - 5a^2 + 10a $

Второй шаг — приведение подобных слагаемых. Подобными слагаемыми являются те, у которых одинаковая буквенная часть. В нашем выражении это $5a^2$ и $-5a^2$. Сложим их коэффициенты:
$ 5a^2 - 5a^2 = (5 - 5)a^2 = 0 \cdot a^2 = 0 $

В результате взаимного уничтожения подобных слагаемых выражение значительно упрощается:
$ 0 + 10a = 10a $

Таким образом, итоговое упрощенное выражение равно $10a$.

Ответ: $10a$

11 Собственная скорость катера $v$ км/ч, скорость течения реки $a$ км/ч. Катер плыл 3 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое из следующих утверждений верно?

1) за всё время он проплыл такое же расстояние, как плот по течению за 6 ч

2) за всё время он проплыл такое же расстояние, как за 3 ч в стоячей воде

3) за всё время он проплыл такое же расстояние, как за 6 ч в стоячей воде

4) по течению он проплыл такое же расстояние, как против течения

Для решения задачи определим общее расстояние, которое проплыл катер. Введем обозначения:

• $v$ (км/ч) — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде).
• $a$ (км/ч) — скорость течения реки.

Скорость катера по течению реки составляет $v_{по} = v + a$ (км/ч).

Скорость катера против течения реки составляет $v_{против} = v - a$ (км/ч).

Катер плыл 3 часа по течению, за это время он прошел расстояние: $S_{по} = (v + a) \cdot 3$ км.

Катер плыл 3 часа против течения, за это время он прошел расстояние: $S_{против} = (v - a) \cdot 3$ км.

Общее расстояние, которое проплыл катер, равно сумме расстояний, пройденных по течению и против течения:

$S_{общ} = S_{по} + S_{против} = 3(v + a) + 3(v - a) = 3v + 3a + 3v - 3a = 6v$ км.

Теперь проанализируем каждое из предложенных утверждений, используя полученное значение общего расстояния.

1) за всё время он проплыл такое же расстояние, как плот по течению за 6 ч

Скорость плота равна скорости течения реки, то есть $a$ км/ч. За 6 часов плот проплывет расстояние $S_{плота} = a \cdot 6 = 6a$ км. Сравниваем общее расстояние катера ($S_{общ} = 6v$) с расстоянием плота ($S_{плота} = 6a$). Равенство $6v = 6a$ (или $v = a$) верно только в том случае, если собственная скорость катера равна скорости течения. В такой ситуации катер не смог бы двигаться против течения. Следовательно, утверждение неверно.

2) за всё время он проплыл такое же расстояние, как за 3 ч в стоячей воде

В стоячей воде катер движется со своей собственной скоростью $v$. За 3 часа он проплывет расстояние $S_{стоячая, 3ч} = v \cdot 3 = 3v$ км. Сравниваем это расстояние с общим расстоянием, пройденным катером: $S_{общ} = 6v$. Равенство $6v = 3v$ возможно только при $v=0$, что бессмысленно. Следовательно, утверждение неверно.

3) за всё время он проплыл такое же расстояние, как за 6 ч в стоячей воде

За 6 часов в стоячей воде катер проплывет расстояние $S_{стоячая, 6ч} = v \cdot 6 = 6v$ км. Это значение в точности совпадает с вычисленным нами общим расстоянием $S_{общ} = 6v$. Следовательно, это утверждение верно.

4) по течению он проплыл такое же расстояние, как против течения

Сравним расстояние, пройденное по течению $S_{по} = 3(v + a)$, с расстоянием, пройденным против течения $S_{против} = 3(v - a)$. Равенство $3(v + a) = 3(v - a)$ возможно, только если $v + a = v - a$, что упрощается до $2a = 0$, то есть $a = 0$. Это означает, что течение отсутствует, что противоречит условию задачи (наличие скорости течения $a$). Следовательно, утверждение неверно.

Таким образом, единственное верное утверждение — третье.

Ответ: 3