Страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Найдите значение выражения:

а) $1.5x - 2y$ при $x = \frac{1}{3}$, $y = 0.3$;

б) $0.5x^3$ при $x = -2$;

в) $3x^2 - 5x + 4$ при $x = -1$;

г) $-0.4x^3 + 2.5y$ при $x = -5$, $y = -8$.

а) Чтобы найти значение выражения $1,5x - 2y$ при $x = \frac{1}{3}$ и $y = 0,3$, подставим данные значения в выражение:

$1,5 \cdot x - 2 \cdot y = 1,5 \cdot \frac{1}{3} - 2 \cdot 0,3$

Для удобства вычислений можно преобразовать десятичные дроби в обыкновенные или наоборот. Преобразуем 1,5 в обыкновенную дробь: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} - 2 \cdot 0,3 = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3} - 0,6 = \frac{3}{6} - 0,6 = \frac{1}{2} - 0,6$

Теперь преобразуем дробь $\frac{1}{2}$ в десятичную: $\frac{1}{2} = 0,5$.

$0,5 - 0,6 = -0,1$

Ответ: -0,1

б) Чтобы найти значение выражения $0,5x^3$ при $x = -2$, подставим данное значение в выражение:

$0,5 \cdot x^3 = 0,5 \cdot (-2)^3$

Сначала возведем число в степень:

$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$

Теперь выполним умножение:

$0,5 \cdot (-8) = -4$

Ответ: -4

в) Чтобы найти значение выражения $3x^2 - 5x + 4$ при $x = -1$, подставим данное значение в выражение:

$3 \cdot x^2 - 5 \cdot x + 4 = 3 \cdot (-1)^2 - 5 \cdot (-1) + 4$

Соблюдая порядок действий, сначала выполняем возведение в степень, затем умножение и сложение/вычитание:

$3 \cdot (1) - (-5) + 4 = 3 + 5 + 4$

$3 + 5 + 4 = 8 + 4 = 12$

Ответ: 12

г) Чтобы найти значение выражения $-0,4x^3 + 2,5y$ при $x = -5$ и $y = -8$, подставим данные значения в выражение:

$-0,4 \cdot x^3 + 2,5 \cdot y = -0,4 \cdot (-5)^3 + 2,5 \cdot (-8)$

Сначала возведем в степень:

$(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot (-5) = -125$

Теперь выполним умножение:

$-0,4 \cdot (-125) = 50$

$2,5 \cdot (-8) = -20$

Теперь сложим полученные значения:

$50 + (-20) = 50 - 20 = 30$

Ответ: 30

2 Представьте в виде многочлена:

а) $(6x^2 - 2x) + (5 + 10x - 5x^2)$;

б) $(6xy + 8y) - (2xy + 8y - 1)$.

а) Чтобы представить выражение $(6x^2 - 2x) + (5 + 10x - 5x^2)$ в виде многочлена, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

1. Раскрываем скобки. Поскольку перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых в ней сохраняются:

$(6x^2 - 2x) + (5 + 10x - 5x^2) = 6x^2 - 2x + 5 + 10x - 5x^2$

2. Группируем подобные слагаемые (члены с $x^2$, члены с $x$ и свободные члены):

$(6x^2 - 5x^2) + (-2x + 10x) + 5$

3. Выполняем сложение и вычитание в каждой группе:

$x^2 + 8x + 5$

Ответ: $x^2 + 8x + 5$

б) Чтобы представить выражение $(6xy + 8y) - (2xy + 8y - 1)$ в виде многочлена, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

1. Раскрываем скобки. Поскольку перед второй скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$(6xy + 8y) - (2xy + 8y - 1) = 6xy + 8y - 2xy - 8y + 1$

2. Группируем подобные слагаемые (члены с $xy$, члены с $y$ и свободные члены):

$(6xy - 2xy) + (8y - 8y) + 1$

3. Выполняем сложение и вычитание в каждой группе. Слагаемые $8y$ и $-8y$ взаимно уничтожаются:

$4xy + 0 + 1 = 4xy + 1$

Ответ: $4xy + 1$

3 Представьте выражение $2ab - b^2 + a^2b - 6b$ в виде суммы и в виде разности двух двучленов.

В виде суммы

Чтобы представить выражение $2ab - b^2 + a^2b - 6b$ в виде суммы двух двучленов, необходимо сгруппировать его четыре члена в две пары. Двучлен — это многочлен, состоящий из двух членов. Простейший способ — это поставить скобки, объединяя члены попарно. Существует несколько способов это сделать.

Например, сгруппируем первый и второй члены вместе, а третий и четвертый — вместе:

$2ab - b^2 + a^2b - 6b = (2ab - b^2) + (a^2b - 6b)$

В данном случае $(2ab - b^2)$ — это первый двучлен, а $(a^2b - 6b)$ — второй. Их сумма в точности равна исходному выражению. Это один из возможных вариантов ответа.

Ответ: $(2ab - b^2) + (a^2b - 6b)$

В виде разности

Чтобы представить то же выражение в виде разности двух двучленов, нужно сгруппировать члены таким образом, чтобы между скобками стоял знак "минус". Для этого можно перегруппировать члены выражения и вынести $-1$ за скобки у второй группы.

Переставим члены в исходном выражении: $2ab + a^2b - b^2 - 6b$.

Теперь сгруппируем первые два члена и последние два. Из последней пары $(-b^2 - 6b)$ вынесем знак минус за скобки:

$(2ab + a^2b) + (-b^2 - 6b) = (2ab + a^2b) - (b^2 + 6b)$

При раскрытии скобок $(2ab + a^2b) - (b^2 + 6b) = 2ab + a^2b - b^2 - 6b$ мы получаем исходное выражение, значит, преобразование выполнено верно.

Таким образом, мы получили разность двух двучленов: $(2ab + a^2b)$ и $(b^2 + 6b)$. Это также один из возможных вариантов.

Ответ: $(2ab + a^2b) - (b^2 + 6b)$

4 Представьте в виде многочлена произведение $4b^3(2b^2 - 3b - 2)$.

Чтобы представить произведение одночлена на многочлен в виде многочлена, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Этот метод основан на распределительном законе умножения.

Дано выражение: $4b^3(2b^2 - 3b - 2)$.

Выполним умножение одночлена $4b^3$ на каждый член многочлена $(2b^2 - 3b - 2)$ поочередно.

1. Умножим $4b^3$ на первый член многочлена $2b^2$:

$4b^3 \cdot 2b^2 = (4 \cdot 2) \cdot (b^3 \cdot b^2) = 8b^{3+2} = 8b^5$

2. Умножим $4b^3$ на второй член многочлена $-3b$:

$4b^3 \cdot (-3b) = (4 \cdot -3) \cdot (b^3 \cdot b^1) = -12b^{3+1} = -12b^4$

3. Умножим $4b^3$ на третий член многочлена $-2$:

$4b^3 \cdot (-2) = (4 \cdot -2) \cdot b^3 = -8b^3$

4. Теперь сложим полученные результаты, чтобы получить итоговый многочлен:

$8b^5 + (-12b^4) + (-8b^3) = 8b^5 - 12b^4 - 8b^3$

Таким образом, произведение $4b^3(2b^2 - 3b - 2)$ в виде многочлена равно $8b^5 - 12b^4 - 8b^3$.

Ответ: $8b^5 - 12b^4 - 8b^3$

5. Упростите выражение:

а) $3a(a - 2) - 2a(a - 3)$;

б) $5b(b - c) + c(2b - c)$.

а) $3a(a - 2) - 2a(a - 3)$

Чтобы упростить это выражение, сначала раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения. Мы умножаем каждый член в скобках на множитель перед ними.

1. Раскроем первую часть выражения: $3a(a - 2)$.

$3a \cdot a - 3a \cdot 2 = 3a^2 - 6a$

2. Раскроем вторую часть выражения: $-2a(a - 3)$. Обратите внимание на знак "минус" перед $2a$.

$-2a \cdot a - 2a \cdot (-3) = -2a^2 + 6a$

3. Теперь объединим полученные результаты:

$(3a^2 - 6a) + (-2a^2 + 6a) = 3a^2 - 6a - 2a^2 + 6a$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени).

$(3a^2 - 2a^2) + (-6a + 6a) = a^2 + 0 = a^2$

Ответ: $a^2$

б) $5b(b - c) + c(2b - c)$

Так же, как и в предыдущем примере, раскроем скобки.

1. Раскроем первую часть выражения: $5b(b - c)$.

$5b \cdot b + 5b \cdot (-c) = 5b^2 - 5bc$

2. Раскроем вторую часть выражения: $c(2b - c)$.

$c \cdot 2b + c \cdot (-c) = 2bc - c^2$

3. Объединим результаты:

$(5b^2 - 5bc) + (2bc - c^2) = 5b^2 - 5bc + 2bc - c^2$

4. Приведем подобные слагаемые (в данном случае это $-5bc$ и $2bc$).

$5b^2 + (-5bc + 2bc) - c^2 = 5b^2 - 3bc - c^2$

Больше подобных слагаемых нет, поэтому это окончательный вид выражения.

Ответ: $5b^2 - 3bc - c^2$

6 Представьте в виде многочлена:

а) $ (2x + 5)(4 + 3x); $

б) $ (1 - a)(5a + 6); $

в) $ (2x - y)(3y - 4x). $

а) Чтобы представить произведение двух многочленов $(2x + 5)$ и $(4 + 3x)$ в виде многочлена, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и сложить полученные произведения.

$(2x + 5)(4 + 3x) = 2x \cdot 4 + 2x \cdot 3x + 5 \cdot 4 + 5 \cdot 3x$

Выполним умножение:

$8x + 6x^2 + 20 + 15x$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $x$ в одинаковой степени):

$6x^2 + (8x + 15x) + 20 = 6x^2 + 23x + 20$

Ответ: $6x^2 + 23x + 20$.

б) Аналогично умножим многочлены $(1 - a)$ и $(5a + 6)$.

$(1 - a)(5a + 6) = 1 \cdot 5a + 1 \cdot 6 - a \cdot 5a - a \cdot 6$

Выполним умножение:

$5a + 6 - 5a^2 - 6a$

Приведем подобные слагаемые и запишем многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней переменной $a$):

$-5a^2 + (5a - 6a) + 6 = -5a^2 - a + 6$

Ответ: $-5a^2 - a + 6$.

в) Умножим многочлены $(2x - y)$ и $(3y - 4x)$.

$(2x - y)(3y - 4x) = 2x \cdot 3y + 2x \cdot (-4x) - y \cdot 3y - y \cdot (-4x)$

Выполним умножение:

$6xy - 8x^2 - 3y^2 + 4xy$

Приведем подобные слагаемые (в данном случае это члены с $xy$):

$-8x^2 - 3y^2 + (6xy + 4xy) = -8x^2 - 3y^2 + 10xy$

Для стандартного вида расположим члены в лексикографическом порядке:

$-8x^2 + 10xy - 3y^2$

Ответ: $-8x^2 + 10xy - 3y^2$.

7 Упростите выражение:

а) $2a(3a - 5) - (a - 3)(a - 7);$

б) $(c + 3)(5 - c) - 3c(1 - c).$

а) Чтобы упростить выражение $2a(3a - 5) - (a - 3)(a - 7)$, необходимо последовательно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
1. Раскроем первую скобку, умножив одночлен $2a$ на многочлен $(3a - 5)$:
$2a(3a - 5) = 2a \cdot 3a - 2a \cdot 5 = 6a^2 - 10a$.
2. Раскроем вторую часть выражения, перемножив два многочлена $(a - 3)$ и $(a - 7)$:
$(a - 3)(a - 7) = a \cdot a + a \cdot (-7) - 3 \cdot a - 3 \cdot (-7) = a^2 - 7a - 3a + 21 = a^2 - 10a + 21$.
3. Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(6a^2 - 10a) - (a^2 - 10a + 21)$.
4. Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:
$6a^2 - 10a - a^2 + 10a - 21$.
5. Приведем подобные слагаемые (сгруппируем члены с одинаковой степенью переменной $a$):
$(6a^2 - a^2) + (-10a + 10a) - 21 = 5a^2 + 0 - 21 = 5a^2 - 21$.
Ответ: $5a^2 - 21$.

б) Чтобы упростить выражение $(c + 3)(5 - c) - 3c(1 - c)$, также выполним раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.
1. Перемножим многочлены $(c + 3)$ и $(5 - c)$:
$(c + 3)(5 - c) = c \cdot 5 + c \cdot (-c) + 3 \cdot 5 + 3 \cdot (-c) = 5c - c^2 + 15 - 3c$.
Приведем подобные слагаемые в полученном выражении: $-c^2 + (5c - 3c) + 15 = -c^2 + 2c + 15$.
2. Раскроем вторую часть выражения, умножив одночлен $-3c$ на многочлен $(1 - c)$:
$-3c(1 - c) = -3c \cdot 1 - 3c \cdot (-c) = -3c + 3c^2$.
3. Теперь сложим полученные выражения:
$(-c^2 + 2c + 15) + (-3c + 3c^2)$.
4. Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:
$-c^2 + 2c + 15 - 3c + 3c^2 = (-c^2 + 3c^2) + (2c - 3c) + 15 = 2c^2 - c + 15$.
Ответ: $2c^2 - c + 15$.

8 Представьте в виде многочлена:

а) $(3a + 4)^2$;

б) $(2a - 3b)^2$.

а)

Для того чтобы представить выражение $(3a + 4)^2$ в виде многочлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат суммы": $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем выражении $x = 3a$ и $y = 4$. Подставим эти значения в формулу:

$(3a + 4)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot 4 + 4^2$

Теперь вычислим каждый член по отдельности:

Первый член: $(3a)^2 = 3^2 \cdot a^2 = 9a^2$.

Второй член (удвоенное произведение): $2 \cdot (3a) \cdot 4 = 24a$.

Третий член: $4^2 = 16$.

Сложив полученные члены, мы получаем итоговый многочлен:

$9a^2 + 24a + 16$

Ответ: $9a^2 + 24a + 16$

б)

Для того чтобы представить выражение $(2a - 3b)^2$ в виде многочлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат разности": $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем выражении $x = 2a$ и $y = 3b$. Подставим эти значения в формулу:

$(2a - 3b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot (3b) + (3b)^2$

Теперь вычислим каждый член по отдельности:

Первый член: $(2a)^2 = 2^2 \cdot a^2 = 4a^2$.

Второй член (удвоенное произведение со знаком минус): $-2 \cdot (2a) \cdot (3b) = -12ab$.

Третий член: $(3b)^2 = 3^2 \cdot b^2 = 9b^2$.

Собрав все члены вместе, мы получаем итоговый многочлен:

$4a^2 - 12ab + 9b^2$

Ответ: $4a^2 - 12ab + 9b^2$

9 Упростите выражение:

а) $(a-b)^2 - a(a+2b);$

б) $4c(c-2) - (c-4)^2.$

а) Чтобы упростить выражение $(a - b)^2 - a(a + 2b)$, сначала раскроем скобки. Для этого используем формулу сокращенного умножения "квадрат разности" $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и распределительное свойство умножения $x(y+z) = xy + xz$.
Применяем формулу к $(a - b)^2$:
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Раскрываем вторую часть выражения $a(a + 2b)$:
$a(a + 2b) = a \cdot a + a \cdot 2b = a^2 + 2ab$
Теперь подставим полученные выражения в исходное:
$(a^2 - 2ab + b^2) - (a^2 + 2ab)$
Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак минус. При этом знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные:
$a^2 - 2ab + b^2 - a^2 - 2ab$
Приводим подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (-2ab - 2ab) + b^2 = 0 - 4ab + b^2 = b^2 - 4ab$
Ответ: $b^2 - 4ab$

б) Чтобы упростить выражение $4c(c - 2) - (c - 4)^2$, раскроем скобки. Для первого слагаемого применим распределительное свойство, а для второго — формулу "квадрат разности" $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Раскрываем первую часть выражения $4c(c - 2)$:
$4c(c - 2) = 4c \cdot c - 4c \cdot 2 = 4c^2 - 8c$
Применяем формулу к $(c - 4)^2$:
$(c - 4)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 4 + 4^2 = c^2 - 8c + 16$
Подставляем полученные выражения в исходное:
$(4c^2 - 8c) - (c^2 - 8c + 16)$
Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак минус, меняя знаки всех слагаемых внутри на противоположные:
$4c^2 - 8c - c^2 + 8c - 16$
Приводим подобные слагаемые:
$(4c^2 - c^2) + (-8c + 8c) - 16 = 3c^2 + 0 - 16 = 3c^2 - 16$
Ответ: $3c^2 - 16$

10 Представьте в виде квадрата двучлена:

а) $4 - 4a + a^2$;

б) $9a^2 - 6ab + b^2$.

а) Чтобы представить выражение $4 - 4a + a^2$ в виде квадрата двучлена, необходимо использовать формулу сокращенного умножения, а именно формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем выражении $4$ — это квадрат числа $2$ (т.е. $x^2 = 2^2$, значит $x=2$), а $a^2$ — это квадрат переменной $a$ (т.е. $y^2 = a^2$, значит $y=a$).

Теперь проверим средний член выражения. Согласно формуле, он должен быть удвоенным произведением первого и второго членов со знаком минус: $-2xy = -2 \cdot 2 \cdot a = -4a$.

Этот результат совпадает со средним членом в исходном выражении. Следовательно, данное выражение является полным квадратом разности.

Запишем преобразование: $4 - 4a + a^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot a + a^2 = (2 - a)^2$.

Ответ: $(2 - a)^2$

б) Для выражения $9a^2 - 6ab + b^2$ мы также применяем формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Определим члены для нашей формулы: первый член в квадрате $x^2 = 9a^2 = (3a)^2$, значит $x = 3a$. Второй член в квадрате $y^2 = b^2$, значит $y = b$.

Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $x$ и $y$ со знаком минус: $-2xy = -2 \cdot (3a) \cdot b = -6ab$.

Этот член полностью совпадает со средним членом в исходном выражении. Таким образом, выражение можно "свернуть" в квадрат двучлена.

Запишем преобразование: $9a^2 - 6ab + b^2 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot b + b^2 = (3a - b)^2$.

Ответ: $(3a - b)^2$

11 Решите уравнение:

а) $10 - 3(5x - 1.5) = 2.5 - 5x$;

б) $2(3x - 4) = 5x - 3(x + 1)$.

а) $10 - 3(5x - 1,5) = 2,5 - 5x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$10 - 3 \cdot 5x - 3 \cdot (-1,5) = 2,5 - 5x$

$10 - 15x + 4,5 = 2,5 - 5x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$14,5 - 15x = 2,5 - 5x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую знак меняется на противоположный:

$-15x + 5x = 2,5 - 14,5$

$-10x = -12$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на $-10$:

$x = \frac{-12}{-10}$

$x = 1,2$

Ответ: $1,2$

б) $2(3x - 4) = 5x - 3(x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$2 \cdot 3x + 2 \cdot (-4) = 5x - 3 \cdot x - 3 \cdot 1$

$6x - 8 = 5x - 3x - 3$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$6x - 8 = 2x - 3$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$6x - 2x = -3 + 8$

$4x = 5$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на $4$:

$x = \frac{5}{4}$

$x = 1,25$

Ответ: $1,25$

12 Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 26 км, выехал велосипедист. Одновременно с ним из пункта B в пункт A выехал мотоциклист со скоростью, на 28 км/ч большей скорости велосипедиста. Они встретились через 0,5 ч. Найдите скорость мотоциклиста. На каком расстоянии от пункта A произошла встреча?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $v_в$ – скорость велосипедиста в км/ч, а $v_м$ – скорость мотоциклиста в км/ч.
По условию, расстояние $S$ между пунктами А и B равно 26 км. Время $t$, через которое они встретились, составляет 0,5 ч.
Также известно, что скорость мотоциклиста на 28 км/ч больше скорости велосипедиста, что можно записать в виде уравнения:
$v_м = v_в + 28$

Поскольку велосипедист и мотоциклист движутся навстречу друг другу, их скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_в + v_м$

Общее расстояние, которое они проехали до встречи, равно расстоянию между пунктами. Это расстояние можно найти по формуле $S = v_{сбл} \cdot t$. Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти их общую скорость сближения:
$v_{сбл} = \frac{S}{t} = \frac{26}{0,5} = 52$ км/ч.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $v_в + v_м = 52$
2) $v_м = v_в + 28$

Найдите скорость мотоциклиста.

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти скорость велосипедиста ($v_в$):
$v_в + (v_в + 28) = 52$
$2v_в + 28 = 52$
$2v_в = 52 - 28$
$2v_в = 24$
$v_в = \frac{24}{2} = 12$ км/ч.

Теперь, зная скорость велосипедиста, найдем скорость мотоциклиста ($v_м$) с помощью второго уравнения:
$v_м = 12 + 28 = 40$ км/ч.

Ответ: Скорость мотоциклиста 40 км/ч.

На каком расстоянии от пункта А произошла встреча?

Расстояние от пункта А до места встречи — это путь, который проехал велосипедист, так как он выехал из пункта А. Для расчета используем формулу расстояния $S = v \cdot t$.
$S_A = v_в \cdot t$
$S_A = 12 \text{ км/ч} \cdot 0,5 \text{ ч} = 6$ км.

Ответ: Встреча произошла на расстоянии 6 км от пункта А.

13 Площадь прямоугольника равна площади квадрата. Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата, а другая на 3 см больше стороны квадрата. Найдите площадь квадрата.

Пусть сторона квадрата равна $x$ см. Тогда его площадь $S_{квадрата}$ равна $x^2$ см².

Согласно условию задачи, одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата, а другая — на 3 см больше. Значит, стороны прямоугольника равны $(x - 2)$ см и $(x + 3)$ см.

Площадь прямоугольника $S_{прямоугольника}$ равна произведению его сторон:

$S_{прямоугольника} = (x - 2)(x + 3)$

По условию, площади фигур равны, поэтому мы можем составить уравнение:

$S_{квадрата} = S_{прямоугольника}$

$x^2 = (x - 2)(x + 3)$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки в правой части:

$x^2 = x^2 + 3x - 2x - 6$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 = x^2 + x - 6$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$0 = x - 6$

Отсюда находим $x$:

$x = 6$

Итак, мы нашли, что сторона квадрата равна 6 см. Длины сторон должны быть положительными, проверим это: сторона квадрата $x = 6 > 0$, стороны прямоугольника $x-2 = 6-2 = 4 > 0$ и $x+3 = 6+3 = 9 > 0$. Все условия соблюдены.

Цель задачи — найти площадь квадрата. Подставим найденное значение стороны в формулу площади квадрата:

$S_{квадрата} = x^2 = 6^2 = 36$ см²

Ответ: 36 см².