Страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

829 а) $(x + 1) + x(x + 1)$;

б) $m^2(n + 1) + 2m(n + 1)$;

В) $y(a - y) - y^2(a - y)$;

Г) $a(a - 1) - (a - 1)$.

а)

В выражении $(x + 1) + x(x + 1)$ мы видим два слагаемых: $(x + 1)$ и $x(x + 1)$.
Общим множителем для этих слагаемых является выражение в скобках $(x + 1)$.
Представим первое слагаемое как $1 \cdot (x + 1)$, чтобы наглядно показать множитель. Выражение примет вид: $1 \cdot (x + 1) + x(x + 1)$.
Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки. В скобках останется сумма коэффициентов при общем множителе, то есть $(1 + x)$.
$(x + 1) + x(x + 1) = (x + 1)(1 + x)$.
Поскольку $1 + x = x + 1$, то выражение можно записать как:
$(x + 1)(x + 1) = (x + 1)^2$.
Ответ: $(x + 1)(1 + x)$ или $(x + 1)^2$.

б)

Рассмотрим выражение $m^2(n + 1) + 2m(n + 1)$.
Оба слагаемых, $m^2(n + 1)$ и $2m(n + 1)$, имеют общие множители.
Общим буквенным множителем является $m$ (в наименьшей степени, то есть $m^1$).
Также общим множителем является выражение в скобках $(n + 1)$.
Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $m(n + 1)$.
Выносим $m(n + 1)$ за скобки. Для этого делим каждое слагаемое на $m(n + 1)$: от первого слагаемого $m^2(n + 1)$ останется $\frac{m^2(n+1)}{m(n+1)} = m$; от второго слагаемого $2m(n + 1)$ останется $\frac{2m(n+1)}{m(n+1)} = 2$.
В результате получаем:
$m(n + 1)(m + 2)$.
Ответ: $m(n + 1)(m + 2)$.

в)

В выражении $y(a - y) - y^2(a - y)$ уменьшаемое $y(a - y)$ и вычитаемое $y^2(a - y)$ имеют общие множители.
Общие множители: $y$ (в наименьшей степени, т.е. $y^1$) и выражение в скобках $(a - y)$.
Вынесем общий множитель $y(a - y)$ за скобки.
От уменьшаемого $y(a - y)$ останется $1$, так как $\frac{y(a-y)}{y(a-y)} = 1$.
От вычитаемого $-y^2(a - y)$ останется $-y$, так как $\frac{y^2(a-y)}{y(a-y)} = y$.
Таким образом, получаем:
$y(a - y)(1 - y)$.
Ответ: $y(a - y)(1 - y)$.

г)

Рассмотрим выражение $a(a - 1) - (a - 1)$.
Общим множителем здесь является выражение в скобках $(a - 1)$.
Представим вычитаемое $(a - 1)$ как $1 \cdot (a - 1)$. Выражение примет вид: $a(a - 1) - 1 \cdot (a - 1)$.
Вынесем общий множитель $(a - 1)$ за скобки. В скобках останется разность коэффициентов, стоявших перед скобкой, то есть $(a - 1)$.
$a(a - 1) - (a - 1) = (a - 1)(a - 1)$.
Это выражение можно записать в виде квадрата разности:
$(a - 1)^2$.
Ответ: $(a - 1)(a - 1)$ или $(a - 1)^2$.

830 а) $x(y-z) + 3(z-y);$

б) $a(b-c) - b(c-b);$

в) $m(n-1) + k(1-n);$

г) $x(x-4) - 5(4-x);$

д) $b(b-1) + (1-b);$

е) $2(p-2) + p(2-p).$

Образец. Разложим выражение $a(x-y) - b(y-x)$ на множители. Так как $y-x = -(x-y)$, то $a(x-y) - b(y-x) = a(x-y)+b(x-y)=(x-y)(a+b)$.

а) $x(y - z) + 3(z - y)$

Для разложения на множители данного выражения, заметим, что выражения в скобках $(y - z)$ и $(z - y)$ являются противоположными. То есть, $z - y = -(y - z)$. Используем это свойство, чтобы преобразовать второе слагаемое:

$x(y - z) + 3(z - y) = x(y - z) + 3(-(y - z)) = x(y - z) - 3(y - z)$

Теперь мы видим общий множитель $(y - z)$, который можно вынести за скобки:

$(y - z)(x - 3)$

Ответ: $(y - z)(x - 3)$

б) $a(b - c) - b(c - b)$

В этом выражении множители в скобках $(b - c)$ и $(c - b)$ также являются противоположными: $c - b = -(b - c)$. Заменим $(c - b)$ в выражении:

$a(b - c) - b(-(b - c)) = a(b - c) + b(b - c)$

Вынесем общий множитель $(b - c)$ за скобки:

$(b - c)(a + b)$

Ответ: $(b - c)(a + b)$

в) $m(n - 1) + k(1 - n)$

Здесь выражения в скобках $(n - 1)$ и $(1 - n)$ являются противоположными, так как $1 - n = -(n - 1)$. Подставим это в исходное выражение:

$m(n - 1) + k(-(n - 1)) = m(n - 1) - k(n - 1)$

Вынесем общий множитель $(n - 1)$ за скобки:

$(n - 1)(m - k)$

Ответ: $(n - 1)(m - k)$

г) $x(x - 4) - 5(4 - x)$

Выражения в скобках $(x - 4)$ и $(4 - x)$ противоположны: $4 - x = -(x - 4)$. Преобразуем выражение:

$x(x - 4) - 5(-(x - 4)) = x(x - 4) + 5(x - 4)$

Выносим общий множитель $(x - 4)$ за скобки:

$(x - 4)(x + 5)$

Ответ: $(x - 4)(x + 5)$

д) $b(b - 1) + (1 - b)$

Во втором слагаемом $(1 - b)$ можно вынести $-1$ за скобку, так как $1 - b = -(b - 1)$.

$b(b - 1) + (-(b - 1)) = b(b - 1) - 1 \cdot (b - 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(b - 1)$ за скобки:

$(b - 1)(b - 1) = (b - 1)^2$

Ответ: $(b - 1)^2$

е) $2(p - 2) + p(2 - p)$

Выражения в скобках $(p - 2)$ и $(2 - p)$ являются противоположными: $2 - p = -(p - 2)$. Сделаем замену в выражении:

$2(p - 2) + p(-(p - 2)) = 2(p - 2) - p(p - 2)$

Выносим общий множитель $(p - 2)$ за скобки:

$(p - 2)(2 - p)$

Ответ: $(p - 2)(2 - p)$

831 a) $2(x - y) + (x - y)^2;$

б) $(a + b)^2 - (a + b)(a - b);$

в) $x(x - y)^2 - y(y - x)^2;$

г) $(x - y) + x(y - x);$

д) $n(m - n)^2 - (n - m)^3;$

е) $a(a - c)^2 - c(a - c)(c - a).$

а) $2(x - y) + (x - y)²$

В данном выражении оба слагаемых, $2(x - y)$ и $(x - y)²$, имеют общий множитель $(x - y)$. Вынесем этот общий множитель за скобки.

$2(x - y) + (x - y)² = (x - y) \cdot 2 + (x - y) \cdot (x - y) = (x - y)(2 + (x - y))$

Теперь раскроем внутренние скобки во втором множителе:

$(x - y)(2 + x - y)$

Ответ: $(x - y)(x - y + 2)$

б) $(a + b)² - (a + b)(a - b)$

В этом выражении общий множитель для уменьшаемого и вычитаемого — это $(a + b)$. Вынесем его за скобки.

$(a + b)² - (a + b)(a - b) = (a + b) \cdot [(a + b) - (a - b)]$

Упростим выражение в квадратных скобках, раскрыв внутренние скобки. Важно помнить, что минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее.

$(a + b) - (a - b) = a + b - a + b = 2b$

Подставим полученный результат обратно в выражение:

$(a + b) \cdot 2b = 2b(a + b)$

Ответ: $2b(a + b)$

в) $x(x - y)² - y(y - x)²$

Для преобразования этого выражения заметим, что выражения $(x - y)$ и $(y - x)$ противоположны, то есть $(y - x) = -(x - y)$. Однако при возведении в квадрат результат будет одинаковым, так как квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного:

$(y - x)² = (-(x - y))² = (-1)² \cdot (x - y)² = (x - y)²$

Заменим $(y - x)²$ на $(x - y)²$ в исходном выражении:

$x(x - y)² - y(x - y)²$

Теперь мы видим общий множитель $(x - y)²$, который можно вынести за скобки:

$(x - y)²(x - y)$

Это произведение можно записать в виде степени:

$(x - y)³$

Ответ: $(x - y)³$

г) $(x - y) + x(y - x)$

Преобразуем второе слагаемое, используя свойство $(y - x) = -(x - y)$:

$x(y - x) = x \cdot [-(x - y)] = -x(x - y)$

Подставим это в исходное выражение:

$(x - y) - x(x - y)$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(x - y)$ за скобки. От первого слагаемого останется 1, а от второго — $-x$.

$(x - y)(1 - x)$

Ответ: $(x - y)(1 - x)$

д) $n(m - n)² - (n - m)³$

Преобразуем вычитаемое. Так как $(n - m) = -(m - n)$, то при возведении в нечетную (третью) степень знак минус сохраняется:

$(n - m)³ = (-(m - n))³ = (-1)³ \cdot (m - n)³ = -(m - n)³$

Подставим это в исходное выражение:

$n(m - n)² - (-(m - n)³) = n(m - n)² + (m - n)³$

Общим множителем является $(m - n)²$. Вынесем его за скобки:

$(m - n)²[n + (m - n)]

Упростим выражение в квадратных скобках:

$n + m - n = m$

В итоге получаем:

$(m - n)² \cdot m = m(m - n)²$

Ответ: $m(m - n)²$

е) $a(a - c)² - c(a - c)(c - a)$

Преобразуем множитель $(c - a)$ в вычитаемом. Мы знаем, что $(c - a) = -(a - c)$.

Подставим это в выражение:

$a(a - c)² - c(a - c)(-(a - c))$

Минус на минус дает плюс, и мы получаем произведение двух одинаковых скобок:

$a(a - c)² + c(a - c)(a - c) = a(a - c)² + c(a - c)²$

Теперь вынесем общий множитель $(a - c)²$ за скобки:

$(a - c)²(a + c)$

Ответ: $(a + c)(a - c)²$

832 Преобразуйте в многочлен, применяя вынесение общего множителя за скобки:

a) $(b - 1)(b + 2) - (b - 2)(b + 2) + (b - 3)(b + 2) - (b - 4)(b + 2);$

б) $(x + y)(x + 1) - (x + y)(1 - y) - (x + y)(x - y).$

а) $(b - 1)(b + 2) - (b - 2)(b + 2) + (b - 3)(b + 2) - (b - 4)(b + 2)$

В данном выражении общим множителем для всех слагаемых является $(b + 2)$. Вынесем его за скобки:

$(b + 2) \cdot ((b - 1) - (b - 2) + (b - 3) - (b - 4))$

Теперь упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки и приведя подобные слагаемые. Обращаем внимание на знаки перед скобками:

$(b - 1) - (b - 2) + (b - 3) - (b - 4) = b - 1 - b + 2 + b - 3 - b + 4$

Сгруппируем подобные члены:

$(b - b + b - b) + (-1 + 2 - 3 + 4) = 0 \cdot b + 2 = 2$

Теперь умножим общий множитель $(b + 2)$ на полученное значение 2:

$(b + 2) \cdot 2 = 2b + 4$

Ответ: $2b + 4$

б) $(x + y)(x + 1) - (x + y)(1 - y) - (x + y)(x - y)$

В этом выражении общим множителем для всех слагаемых является $(x + y)$. Вынесем его за скобки:

$(x + y) \cdot ((x + 1) - (1 - y) - (x - y))$

Упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки и приведя подобные слагаемые. Обращаем внимание на знаки перед скобками:

$(x + 1) - (1 - y) - (x - y) = x + 1 - 1 + y - x + y$

Сгруппируем подобные члены:

$(x - x) + (y + y) + (1 - 1) = 0 + 2y + 0 = 2y$

Теперь умножим общий множитель $(x + y)$ на полученное выражение $2y$:

$(x + y) \cdot 2y = 2y(x + y) = 2xy + 2y^2$

Ответ: $2xy + 2y^2$

833 Известно, что $m - n = \frac{3}{4}$. Чему равно значение выражения:

а) $\frac{n}{mn - n^2}$;

б) $\frac{m}{mn - m^2}$;

в) $\frac{n^2 - 2mn + m^2}{3m - 3n}$?

a)

Чтобы найти значение выражения $\frac{n}{mn - n^2}$, преобразуем его знаменатель. Вынесем общий множитель $n$ за скобки в знаменателе:

$mn - n^2 = n(m - n)$

Теперь выражение принимает вид:

$\frac{n}{n(m - n)}$

Поскольку выражение имеет значение, $n \neq 0$ и $m-n \neq 0$. Сократим дробь на $n$:

$\frac{1}{m - n}$

По условию $m - n = \frac{3}{4}$. Подставим это значение в упрощенное выражение:

$\frac{1}{\frac{3}{4}} = 1 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{m}{mn - m^2}$. Аналогично предыдущему пункту, вынесем общий множитель $m$ за скобки в знаменателе:

$mn - m^2 = m(n - m)$

Выражение принимает вид:

$\frac{m}{m(n - m)}$

Сократим дробь на $m$ (подразумевая, что $m \neq 0$):

$\frac{1}{n - m}$

Нам известно, что $m - n = \frac{3}{4}$. Тогда $n - m = -(m - n) = -\frac{3}{4}$.

Подставим найденное значение в выражение:

$\frac{1}{-\frac{3}{4}} = 1 \cdot (-\frac{4}{3}) = -\frac{4}{3}$

Ответ: $-\frac{4}{3}$.

в)

Рассмотрим выражение $\frac{n^2 - 2mn + m^2}{3m - 3n}$. Преобразуем числитель и знаменатель.

Числитель $n^2 - 2mn + m^2$ является формулой квадрата разности:

$n^2 - 2mn + m^2 = (n - m)^2 = (m - n)^2$

В знаменателе $3m - 3n$ вынесем за скобки общий множитель 3:

$3m - 3n = 3(m - n)$

Теперь подставим преобразованные части обратно в дробь:

$\frac{(m - n)^2}{3(m - n)}$

Поскольку $m - n = \frac{3}{4} \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(m - n)$:

$\frac{m - n}{3}$

Подставим известное значение $m - n = \frac{3}{4}$:

$\frac{\frac{3}{4}}{3} = \frac{3}{4} \div 3 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

834 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Чтобы использовать калькулятор для вычисления значения многочлена

$4,5x^3 - 7x^2 + 2x - 2,5$

этот многочлен удобно представить в таком виде:

$4,5x^3 - 7x^2 + 2x - 2,5 = (4,5x^2 - 7x + 2)x - 2,5 = ((4,5x - 7)x + 2)x - 2,5.$

Выполните вычисления для $x = 1,2$.

Используя рассмотренный способ, найдите значение выражения:

a) $6,5x^3 - 5x^2 + 4x - 7$ при $x = 0,8;$

б) $0,5x^4 - 3x^3 + 5,2x - 2$ при $x = 5.$

Данный способ преобразования многочлена для удобства вычислений называется схемой Горнера. Сначала выполним вычисление для многочлена из примера, чтобы продемонстрировать метод.

Вычислим значение многочлена $4,5x^3 - 7x^2 + 2x - 2,5$ при $x = 1,2$.

Представим многочлен в виде: $((4,5x - 7)x + 2)x - 2,5$.

Теперь подставим значение $x = 1,2$ и вычислим по шагам:

1. $4,5 \cdot 1,2 - 7 = 5,4 - 7 = -1,6$

2. $(-1,6) \cdot 1,2 + 2 = -1,92 + 2 = 0,08$

3. $0,08 \cdot 1,2 - 2,5 = 0,096 - 2,5 = -2,404$

Ответ: -2,404

Теперь решим задачи, используя этот же способ.

а) Найдем значение выражения $6,5x^3 - 5x^2 + 4x - 7$ при $x = 0,8$.

Сначала преобразуем выражение по схеме Горнера, последовательно вынося $x$ за скобки:

$6,5x^3 - 5x^2 + 4x - 7 = (6,5x^2 - 5x + 4)x - 7 = ((6,5x - 5)x + 4)x - 7$.

Подставим $x = 0,8$ и выполним вычисления по шагам:

1. $6,5 \cdot 0,8 - 5 = 5,2 - 5 = 0,2$

2. $0,2 \cdot 0,8 + 4 = 0,16 + 4 = 4,16$

3. $4,16 \cdot 0,8 - 7 = 3,328 - 7 = -3,672$

Ответ: -3,672

б) Найдем значение выражения $0,5x^4 - 3x^3 + 5,2x - 2$ при $x = 5$.

В данном многочлене отсутствует член с $x^2$. Для применения схемы Горнера представим его с коэффициентом 0: $0,5x^4 - 3x^3 + 0x^2 + 5,2x - 2$.

Преобразуем выражение:

$0,5x^4 - 3x^3 + 0x^2 + 5,2x - 2 = (((0,5x - 3)x + 0)x + 5,2)x - 2$.

Подставим $x = 5$ и выполним вычисления по шагам:

1. $0,5 \cdot 5 - 3 = 2,5 - 3 = -0,5$

2. $(-0,5) \cdot 5 + 0 = -2,5$

3. $(-2,5) \cdot 5 + 5,2 = -12,5 + 5,2 = -7,3$

4. $(-7,3) \cdot 5 - 2 = -36,5 - 2 = -38,5$

Ответ: -38,5

835 ДОКАЗЫВАЕМ Проиллюстрируйте каждое из данных утверждений конкретным примером и докажите его:

а) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом;

б) сумма двух последовательных степеней числа 2 делится на 6;

в) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число.

а) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом;

Иллюстрация:
Возьмём натуральное число $n = 7$.
Квадрат этого числа: $7^2 = 49$.
Разность между квадратом числа и самим числом: $49 - 7 = 42$.
Число 42 является чётным, что иллюстрирует утверждение.
Возьмём другое натуральное число $n = 10$.
Квадрат этого числа: $10^2 = 100$.
Разность: $100 - 10 = 90$.
Число 90 также является чётным.

Доказательство:
Пусть $n$ — любое натуральное число. Нам нужно доказать, что выражение $n^2 - n$ всегда является чётным числом.
Разложим это выражение на множители: $n^2 - n = n(n - 1)$.
Выражение представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел: $(n - 1)$ и $n$.
Среди любых двух последовательных натуральных чисел одно обязательно является чётным, а другое — нечётным.
Рассмотрим два случая:
1. Если $n$ — чётное число, то его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда произведение $n(n - 1) = 2k(n - 1)$ делится на 2, а значит, является чётным.
2. Если $n$ — нечётное число, то число $(n - 1)$ будет чётным. Его можно представить в виде $n - 1 = 2k$, где $k$ — целое неотрицательное число. Тогда произведение $n(n - 1) = n(2k)$ также делится на 2 и является чётным.
В обоих случаях произведение $n(n - 1)$ является чётным. Таким образом, утверждение доказано для любого натурального числа $n$.

Ответ: утверждение доказано.

б) сумма двух последовательных степеней числа 2 делится на 6;

Иллюстрация:
Возьмём две последовательные степени числа 2, например, $2^3$ и $2^4$.
Их сумма: $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$.
Число 24 делится на 6 без остатка ($24 \div 6 = 4$), что иллюстрирует утверждение.
Возьмём другую пару: $2^5$ и $2^6$.
Их сумма: $2^5 + 2^6 = 32 + 64 = 96$.
Число 96 также делится на 6 без остатка ($96 \div 6 = 16$).

Доказательство:
Пусть $n$ — любое натуральное число ($n \ge 1$). Рассмотрим сумму двух последовательных степеней числа 2: $2^n + 2^{n+1}$.
Вынесем общий множитель $2^n$ за скобки:
$2^n + 2^{n+1} = 2^n(1 + 2^1) = 2^n \cdot 3$.
Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться одновременно на 2 и на 3.
Полученное выражение $3 \cdot 2^n$ очевидно делится на 3.
Так как $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то $2^n$ всегда является чётным числом ($2^1=2$, $2^2=4$, и т.д.), то есть $2^n$ делится на 2.
Поскольку выражение $3 \cdot 2^n$ делится и на 2, и на 3, оно делится и на их произведение, то есть на 6.
Более формально: $2^n \cdot 3 = 2 \cdot 2^{n-1} \cdot 3 = 6 \cdot 2^{n-1}$. Так как $n \ge 1$, то $n-1 \ge 0$, и $2^{n-1}$ является целым числом. Следовательно, выражение $6 \cdot 2^{n-1}$ делится на 6. Утверждение доказано.

Ответ: утверждение доказано.

в) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число.

Иллюстрация:
Возьмём натуральное число $a = 3$ и две его последовательные степени, например, $3^2$ и $3^3$.
Сумма этих степеней: $3^2 + 3^3 = 9 + 27 = 36$.
Следующее за числом 3 число — это $3 + 1 = 4$.
Проверим делимость: $36 \div 4 = 9$. Сумма делится на 4 без остатка.
Возьмём другое число $a=5$ и степени $5^1$ и $5^2$.
Сумма: $5^1 + 5^2 = 5 + 25 = 30$.
Следующее за числом 5 число — это $5 + 1 = 6$.
Проверим делимость: $30 \div 6 = 5$. Сумма делится на 6 без остатка.

Доказательство:
Пусть $a$ — любое натуральное число, и пусть $n$ — любое натуральное число, обозначающее степень.
Рассмотрим сумму двух последовательных степеней числа $a$: $a^n + a^{n+1}$.
Следующее за числом $a$ число — это $a + 1$.
Нам нужно доказать, что $a^n + a^{n+1}$ делится на $a + 1$.
Вынесем общий множитель $a^n$ за скобки:
$a^n + a^{n+1} = a^n(1 + a) = a^n(a + 1)$.
Полученное выражение является произведением $a^n$ и $(a + 1)$. Так как $a$ и $n$ — натуральные числа, то $a^n$ является целым числом.
Следовательно, выражение $a^n(a + 1)$ является произведением целого числа $a^n$ на $(a+1)$, а значит, оно всегда делится на $(a + 1)$ без остатка. Утверждение доказано.

Ответ: утверждение доказано.