Страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

847 Какие из выражений можно разложить на множители, применив формулу разности квадратов:

а) $a^2 - 9$;

б) $b^2 + 1$;

в) $4 - y^2$;

г) $49 - p^2$;

д) $25 + x^2$;

е) $1 - c^2$;

ж) $6a^2 - b^2$;

з) $16x - y^2$;

и) $x^2y^2 - 4$?

Формула разности квадратов имеет вид $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Чтобы применить эту формулу, выражение должно представлять собой разность двух слагаемых, каждое из которых является точным квадратом.

а) $a^2 - 9$

Данное выражение можно представить как разность квадратов, поскольку $a^2$ является квадратом переменной $a$, а $9$ является квадратом числа $3$.

$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a - 3)(a + 3)$

Ответ: можно разложить.

б) $b^2 + 1$

Это выражение является суммой квадратов ($b^2 + 1^2$), а не разностью. Формулу разности квадратов применить нельзя.

Ответ: нельзя разложить.

в) $4 - y^2$

Данное выражение можно представить как разность квадратов, поскольку $4$ является квадратом числа $2$, а $y^2$ является квадратом переменной $y$.

$4 - y^2 = 2^2 - y^2 = (2 - y)(2 + y)$

Ответ: можно разложить.

г) $49 - p^2$

Данное выражение является разностью квадратов, так как $49 = 7^2$ и $p^2 = (p)^2$.

$49 - p^2 = 7^2 - p^2 = (7 - p)(7 + p)$

Ответ: можно разложить.

д) $25 + x^2$

Это выражение является суммой квадратов ($5^2 + x^2$), а не разностью. Следовательно, формулу разности квадратов применить нельзя.

Ответ: нельзя разложить.

е) $1 - c^2$

Данное выражение является разностью квадратов, так как $1 = 1^2$ и $c^2 = (c)^2$.

$1 - c^2 = 1^2 - c^2 = (1 - c)(1 + c)$

Ответ: можно разложить.

ж) $6a^2 - b^2$

В этом выражении $b^2$ является квадратом $b$, однако $6a^2$ не является точным квадратом (в рамках рациональных чисел), так как число $6$ не является квадратом какого-либо рационального числа.

Ответ: нельзя разложить.

з) $16x - y^2$

В этом выражении $y^2$ является квадратом $y$, но слагаемое $16x$ не является точным квадратом, поскольку переменная $x$ находится в первой степени.

Ответ: нельзя разложить.

и) $x^2y^2 - 4$

Данное выражение можно представить как разность квадратов, поскольку $x^2y^2$ является квадратом выражения $(xy)$, а $4$ является квадратом числа $2$.

$x^2y^2 - 4 = (xy)^2 - 2^2 = (xy - 2)(xy + 2)$

Ответ: можно разложить.

Разложите на множители (848–851).

848 a) $x^2 - y^2$;

б) $y^2 - x^2$;

в) $a^2 - 9$;

г) $16 - b^2$;

д) $x^2 - 1$;

е) $1 - a^2$;

ж) $a^2 - 0,01$;

з) $\frac{4}{9} - x^2$.

Для разложения на множители всех выражений в этом задании используется формула сокращенного умножения, известная как разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) Выражение $x^2 - y^2$ является прямым применением формулы разности квадратов, где в роли $a$ выступает $x$, а в роли $b$ выступает $y$.
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Ответ: $(x - y)(x + y)$

б) Выражение $y^2 - x^2$ также раскладывается по формуле разности квадратов, но здесь $a = y$, а $b = x$.
$y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$.
Ответ: $(y - x)(y + x)$

в) Чтобы разложить выражение $a^2 - 9$, представим 9 как квадрат числа 3, то есть $9 = 3^2$.
Получаем выражение $a^2 - 3^2$, которое является разностью квадратов при $a = a$ и $b = 3$.
$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a - 3)(a + 3)$.
Ответ: $(a - 3)(a + 3)$

г) Для выражения $16 - b^2$ представим 16 как квадрат числа 4, то есть $16 = 4^2$.
Выражение принимает вид $4^2 - b^2$. Применяем формулу разности квадратов, где $a = 4$ и $b = b$.
$16 - b^2 = 4^2 - b^2 = (4 - b)(4 + b)$.
Ответ: $(4 - b)(4 + b)$

д) В выражении $x^2 - 1$ представим 1 как $1^2$.
Получаем $x^2 - 1^2$. Используем формулу разности квадратов при $a = x$ и $b = 1$.
$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$.
Ответ: $(x - 1)(x + 1)$

е) В выражении $1 - a^2$ представим 1 как $1^2$.
Получаем $1^2 - a^2$. Используем формулу разности квадратов при $a = 1$ и $b = a$.
$1 - a^2 = 1^2 - a^2 = (1 - a)(1 + a)$.
Ответ: $(1 - a)(1 + a)$

ж) Чтобы разложить $a^2 - 0,01$, представим десятичную дробь 0,01 как квадрат числа 0,1, то есть $0,01 = (0,1)^2$.
Выражение принимает вид $a^2 - (0,1)^2$. Применяем формулу, где $a = a$ и $b = 0,1$.
$a^2 - 0,01 = a^2 - (0,1)^2 = (a - 0,1)(a + 0,1)$.
Ответ: $(a - 0,1)(a + 0,1)$

з) В выражении $\frac{4}{9} - x^2$ представим обыкновенную дробь $\frac{4}{9}$ как квадрат дроби $\frac{2}{3}$, то есть $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$.
Получаем выражение $(\frac{2}{3})^2 - x^2$. Используем формулу разности квадратов при $a = \frac{2}{3}$ и $b = x$.
$\frac{4}{9} - x^2 = (\frac{2}{3})^2 - x^2 = (\frac{2}{3} - x)(\frac{2}{3} + x)$.
Ответ: $(\frac{2}{3} - x)(\frac{2}{3} + x)$

849 а) $9x^2 - 4$;

Б) $4a^2 - 25$;

В) $16 - 49y^2$;

Г) $9a^2 - 4b^2$;

Д) $16m^2 - 9n^2$;

Е) $25x^2 - y^2$;

Ж) $4x^2 - 1$;

З) $1 - 36a^2$.

а) Чтобы разложить выражение $9x^2 - 4$ на множители, применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Сначала представим каждый член выражения в виде квадрата:

$9x^2$ это квадрат от $3x$, то есть $(3x)^2$.

$4$ это квадрат от $2$, то есть $2^2$.

Таким образом, наше выражение принимает вид $(3x)^2 - 2^2$.

Теперь, используя формулу, где $a = 3x$ и $b = 2$, получаем:

$9x^2 - 4 = (3x - 2)(3x + 2)$.

Ответ: $(3x - 2)(3x + 2)$.

б) Для разложения выражения $4a^2 - 25$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим оба члена выражения как квадраты:

$4a^2 = (2a)^2$

$25 = 5^2$

Теперь выражение можно записать как $(2a)^2 - 5^2$.

Применим формулу, подставив $a = 2a$ и $b = 5$:

$4a^2 - 25 = (2a - 5)(2a + 5)$.

Ответ: $(2a - 5)(2a + 5)$.

в) Выражение $16 - 49y^2$ также является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим члены выражения в виде квадратов:

$16 = 4^2$

$49y^2 = (7y)^2$

Выражение принимает вид $4^2 - (7y)^2$.

Подставляя в формулу $a = 4$ и $b = 7y$, получаем:

$16 - 49y^2 = (4 - 7y)(4 + 7y)$.

Ответ: $(4 - 7y)(4 + 7y)$.

г) Чтобы разложить на множители $9a^2 - 4b^2$, используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим каждый член в виде квадрата:

$9a^2 = (3a)^2$

$4b^2 = (2b)^2$

Исходное выражение можно переписать как $(3a)^2 - (2b)^2$.

Применяя формулу с $a = 3a$ и $b = 2b$, имеем:

$9a^2 - 4b^2 = (3a - 2b)(3a + 2b)$.

Ответ: $(3a - 2b)(3a + 2b)$.

д) Для разложения $16m^2 - 9n^2$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим члены выражения как квадраты:

$16m^2 = (4m)^2$

$9n^2 = (3n)^2$

Выражение становится $(4m)^2 - (3n)^2$.

Применим формулу, где $a = 4m$ и $b = 3n$:

$16m^2 - 9n^2 = (4m - 3n)(4m + 3n)$.

Ответ: $(4m - 3n)(4m + 3n)$.

е) Разложим на множители $25x^2 - y^2$, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим члены выражения в виде квадратов:

$25x^2 = (5x)^2$

$y^2 = (y)^2$

Выражение можно записать как $(5x)^2 - y^2$.

Подставим в формулу $a = 5x$ и $b = y$:

$25x^2 - y^2 = (5x - y)(5x + y)$.

Ответ: $(5x - y)(5x + y)$.

ж) Выражение $4x^2 - 1$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим каждый член как квадрат:

$4x^2 = (2x)^2$

$1 = 1^2$

Выражение принимает вид $(2x)^2 - 1^2$.

Используя формулу с $a = 2x$ и $b = 1$, получаем:

$4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$.

Ответ: $(2x - 1)(2x + 1)$.

з) Чтобы разложить на множители $1 - 36a^2$, воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим члены выражения в виде квадратов:

$1 = 1^2$

$36a^2 = (6a)^2$

Исходное выражение можно переписать как $1^2 - (6a)^2$.

Применим формулу, где $a = 1$ и $b = 6a$:

$1 - 36a^2 = (1 - 6a)(1 + 6a)$.

Ответ: $(1 - 6a)(1 + 6a)$.

a) $0,25a^2 - 1;$

B) $0,09x^2 - y^2;$

Д) $1,44a^2 - 1,21;$

Б) $0,16 - 4b^2;$

Г) $100y^2 - 0,01x^2;$

E) $\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2.$

а) Для разложения выражения $0.25a^2 - 1$ на множители применяется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Сначала представим каждый член выражения в виде квадрата. $0.25a^2$ можно записать как $(0.5a)^2$, а $1$ можно записать как $1^2$. Таким образом, мы имеем $A = 0.5a$ и $B = 1$. Подставляя эти значения в формулу, получаем: $0.25a^2 - 1 = (0.5a)^2 - 1^2 = (0.5a - 1)(0.5a + 1)$.
Ответ: $(0.5a - 1)(0.5a + 1)$

б) Выражение $0.16 - 4b^2$ также является разностью квадратов. Используем ту же формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Представим члены выражения в виде квадратов: $0.16 = (0.4)^2$ и $4b^2 = (2b)^2$. В этом случае $A = 0.4$ и $B = 2b$. Следовательно, разложение на множители будет: $(0.4 - 2b)(0.4 + 2b)$.
Ответ: $(0.4 - 2b)(0.4 + 2b)$

в) Для разложения выражения $0.09x^2 - y^2$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Представим члены выражения в виде квадратов: $0.09x^2 = (0.3x)^2$ и $y^2 = (y)^2$. Здесь $A = 0.3x$ и $B = y$. Применив формулу, получаем: $(0.3x - y)(0.3x + y)$.
Ответ: $(0.3x - y)(0.3x + y)$

г) Разложим на множители выражение $100y^2 - 0.01x^2$, используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Представим члены выражения в виде квадратов: $100y^2 = (10y)^2$ и $0.01x^2 = (0.1x)^2$. В данном случае $A = 10y$ и $B = 0.1x$. Результат разложения: $(10y - 0.1x)(10y + 0.1x)$.
Ответ: $(10y - 0.1x)(10y + 0.1x)$

д) Для выражения $1.44a^2 - 1.21$ применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Представим члены выражения в виде квадратов: $1.44a^2 = (1.2a)^2$, так как $1.2^2 = 1.44$, и $1.21 = (1.1)^2$, так как $1.1^2 = 1.21$. Здесь $A = 1.2a$ и $B = 1.1$. Получаем: $(1.2a - 1.1)(1.2a + 1.1)$.
Ответ: $(1.2a - 1.1)(1.2a + 1.1)$

е) Разложим на множители выражение $\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2$ с помощью формулы разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Представим дроби в виде квадратов: $\frac{1}{4}a^2 = (\frac{1}{2}a)^2$ и $\frac{1}{9}b^2 = (\frac{1}{3}b)^2$. В данном случае $A = \frac{1}{2}a$ и $B = \frac{1}{3}b$. Подставив в формулу, получаем: $(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b)$.
Ответ: $(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b)$

851 a) $x^2 y^2 - z^2$;

б) $a^2 b^2 - 16$;

в) $9 - m^2 n^2$;

г) $b^2 c^2 - 1$;

д) $y^4 - x^2$;

е) $y^6 - 9$;

ж) $x^{10} - 25$;

з) $9 - b^4$.

Для решения всех пунктов задачи используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

а) $x^2y^2 - z^2$

Представим данное выражение в виде разности квадратов. Первый член $x^2y^2$ можно записать как $(xy)^2$, а второй член $z^2$ уже является квадратом.

Получаем выражение: $(xy)^2 - z^2$.

В данном случае $A = xy$ и $B = z$. Применяя формулу разности квадратов, имеем:

$(xy)^2 - z^2 = (xy - z)(xy + z)$

Ответ: $(xy - z)(xy + z)$

б) $a^2b^2 - 16$

Представим выражение в виде разности квадратов. Первый член $a^2b^2$ равен $(ab)^2$, а второй член $16$ равен $4^2$.

Получаем выражение: $(ab)^2 - 4^2$.

Здесь $A = ab$ и $B = 4$. По формуле разности квадратов:

$(ab)^2 - 4^2 = (ab - 4)(ab + 4)$

Ответ: $(ab - 4)(ab + 4)$

в) $9 - m^2n^2$

Представим выражение в виде разности квадратов. Первый член $9$ равен $3^2$, а второй член $m^2n^2$ равен $(mn)^2$.

Получаем выражение: $3^2 - (mn)^2$.

Здесь $A = 3$ и $B = mn$. По формуле разности квадратов:

$3^2 - (mn)^2 = (3 - mn)(3 + mn)$

Ответ: $(3 - mn)(3 + mn)$

г) $b^2c^2 - 1$

Представим выражение в виде разности квадратов. Первый член $b^2c^2$ равен $(bc)^2$, а второй член $1$ равен $1^2$.

Получаем выражение: $(bc)^2 - 1^2$.

Здесь $A = bc$ и $B = 1$. По формуле разности квадратов:

$(bc)^2 - 1^2 = (bc - 1)(bc + 1)$

Ответ: $(bc - 1)(bc + 1)$

д) $y^4 - x^2$

Представим выражение в виде разности квадратов. Первый член $y^4$ равен $(y^2)^2$, а второй член $x^2$ уже является квадратом.

Получаем выражение: $(y^2)^2 - x^2$.

Здесь $A = y^2$ и $B = x$. По формуле разности квадратов:

$(y^2)^2 - x^2 = (y^2 - x)(y^2 + x)$

Ответ: $(y^2 - x)(y^2 + x)$

е) $y^6 - 9$

Представим выражение в виде разности квадратов. Первый член $y^6$ равен $(y^3)^2$, а второй член $9$ равен $3^2$.

Получаем выражение: $(y^3)^2 - 3^2$.

Здесь $A = y^3$ и $B = 3$. По формуле разности квадратов:

$(y^3)^2 - 3^2 = (y^3 - 3)(y^3 + 3)$

Ответ: $(y^3 - 3)(y^3 + 3)$

ж) $x^{10} - 25$

Представим выражение в виде разности квадратов. Первый член $x^{10}$ равен $(x^5)^2$, а второй член $25$ равен $5^2$.

Получаем выражение: $(x^5)^2 - 5^2$.

Здесь $A = x^5$ и $B = 5$. По формуле разности квадратов:

$(x^5)^2 - 5^2 = (x^5 - 5)(x^5 + 5)$

Ответ: $(x^5 - 5)(x^5 + 5)$

з) $9 - b^4$

Представим выражение в виде разности квадратов. Первый член $9$ равен $3^2$, а второй член $b^4$ равен $(b^2)^2$.

Получаем выражение: $3^2 - (b^2)^2$.

Здесь $A = 3$ и $B = b^2$. По формуле разности квадратов:

$3^2 - (b^2)^2 = (3 - b^2)(3 + b^2)$

Ответ: $(3 - b^2)(3 + b^2)$

852 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите:

а) $37^2 - 13^2$;

б) $72^2 - 28^2$;

в) $42,4^2 - 42,3^2$;

г) $6,8^2 - 3,2^2$.

а) Для вычисления выражения $37^2 - 13^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно разностью квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В данном случае $a = 37$ и $b = 13$.
Подставим значения в формулу:
$37^2 - 13^2 = (37 - 13)(37 + 13) = 24 \cdot 50 = 1200$.
Ответ: 1200.

б) Для вычисления выражения $72^2 - 28^2$ также используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Здесь $a = 72$ и $b = 28$.
Подставим значения:
$72^2 - 28^2 = (72 - 28)(72 + 28) = 44 \cdot 100 = 4400$.
Ответ: 4400.

в) Вычислим выражение $42,4^2 - 42,3^2$ с помощью формулы разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В этом примере $a = 42,4$ и $b = 42,3$.
Подставляем значения в формулу:
$42,4^2 - 42,3^2 = (42,4 - 42,3)(42,4 + 42,3) = 0,1 \cdot 84,7 = 8,47$.
Ответ: 8,47.

г) Для вычисления выражения $6,8^2 - 3,2^2$ применяем ту же формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Здесь $a = 6,8$ и $b = 3,2$.
Подставляем значения:
$6,8^2 - 3,2^2 = (6,8 - 3,2)(6,8 + 3,2) = 3,6 \cdot 10 = 36$.
Ответ: 36.

853 ДОКАЗЫВАЕМ

а) Делится ли значение выражения $35^2 - 11^2$ на 2? на 3? на 4? на 5? на 6? на 12? на 22? на 23? на 24?

б) Укажите 10 делителей числа, равного $97^2 - 43^2$.

Чтобы определить, делится ли значение выражения $35^2 - 11^2$ на указанные числа, сначала упростим его, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$35^2 - 11^2 = (35 - 11)(35 + 11) = 24 \times 46$.

Для удобства проверки разложим полученное произведение на простые множители:

$24 = 2^3 \times 3$

$46 = 2 \times 23$

Таким образом, значение выражения равно $(2^3 \times 3) \times (2 \times 23) = 2^4 \times 3 \times 23 = 1104$.

Теперь проверим делимость на каждое из чисел, анализируя простые множители числа 1104.

• на 2? Да, делится, так как в разложении числа есть множитель 2 (даже в четвертой степени).

• на 3? Да, делится, так как в разложении есть множитель 3.

• на 4? Да, делится, так как $4 = 2^2$, а в разложении есть $2^4$, что больше чем $2^2$.

• на 5? Нет, не делится, так как в разложении на простые множители отсутствует множитель 5.

• на 6? Да, делится, так как $6 = 2 \times 3$, а в разложении есть и множитель 2, и множитель 3.

• на 12? Да, делится, так как $12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$, а в разложении есть множители $2^4$ и 3.

• на 22? Нет, не делится, так как $22 = 2 \times 11$, а в разложении отсутствует множитель 11.

• на 23? Да, делится, так как в разложении есть множитель 23.

• на 24? Да, делится, так как $24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3$, а в разложении есть множители $2^4$ и 3.

Ответ: значение выражения делится на 2, 3, 4, 6, 12, 23 и 24; не делится на 5 и 22.

Для того чтобы указать 10 делителей числа, равного $97^2 - 43^2$, сначала найдем это число, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$97^2 - 43^2 = (97 - 43)(97 + 43) = 54 \times 140$.

Разложим это число на простые множители, чтобы было легче находить делители:

$54 = 2 \times 27 = 2 \times 3^3$

$140 = 14 \times 10 = (2 \times 7) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 5 \times 7$

Следовательно, наше число равно $(2 \times 3^3) \times (2^2 \times 5 \times 7) = 2^3 \times 3^3 \times 5 \times 7 = 7560$.

Делителем числа является любое число, составленное из произведения его простых множителей (2, 3, 5, 7) в степенях, не превышающих те, что в разложении. Приведем 10 примеров таких делителей:

• 1 (является делителем любого целого числа)

• 2, 3, 5, 7 (простые множители из разложения)

• 4 (поскольку $4=2^2$, а в разложении есть $2^3$)

• 6 (поскольку $6 = 2 \times 3$)

• 8 (поскольку $8=2^3$)

• 9 (поскольку $9=3^2$, а в разложении есть $3^3$)

• 10 (поскольку $10=2 \times 5$)

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

854 Сократите дробь:

a) $ \frac{a+b}{a^2-b^2} $;

б) $ \frac{x-y}{x^2-y^2} $;

В) $ \frac{a^2-1}{ab-b} $;

Г) $ \frac{ab-3a}{b^2-9} $;

Д) $ \frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2} $;

е) $ \frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a+b}{a^2-b^2}$, необходимо разложить знаменатель на множители. Знаменатель представляет собой разность квадратов, которая раскладывается по формуле $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

Применим эту формулу к знаменателю: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Теперь дробь выглядит так: $\frac{a+b}{(a-b)(a+b)}$.

Сокращаем общий множитель $(a+b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{a+b}}{(a-b)\cancel{(a+b)}} = \frac{1}{a-b}$.

Ответ: $\frac{1}{a-b}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{x-y}{x^2-y^2}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель $x^2-y^2$ является разностью квадратов, поэтому $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

Подставим разложенный знаменатель в дробь: $\frac{x-y}{(x-y)(x+y)}$.

Сократим на общий множитель $(x-y)$:

$\frac{\cancel{x-y}}{\cancel{(x-y)}(x+y)} = \frac{1}{x+y}$.

Ответ: $\frac{1}{x+y}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2-1}{ab-b}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $a^2-1$ — это разность квадратов: $a^2-1^2 = (a-1)(a+1)$.

В знаменателе $ab-b$ вынесем общий множитель $b$ за скобки: $b(a-1)$.

Дробь принимает вид: $\frac{(a-1)(a+1)}{b(a-1)}$.

Сокращаем общий множитель $(a-1)$:

$\frac{\cancel{(a-1)}(a+1)}{b\cancel{(a-1)}} = \frac{a+1}{b}$.

Ответ: $\frac{a+1}{b}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{ab-3a}{b^2-9}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе $ab-3a$ вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(b-3)$.

Знаменатель $b^2-9$ — это разность квадратов: $b^2-3^2 = (b-3)(b+3)$.

Получаем дробь: $\frac{a(b-3)}{(b-3)(b+3)}$.

Сокращаем на общий множитель $(b-3)$:

$\frac{a\cancel{(b-3)}}{\cancel{(b-3)}(b+3)} = \frac{a}{b+3}$.

Ответ: $\frac{a}{b+3}$.

д) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель $x^2-y^2$ — это разность квадратов: $(x-y)(x+y)$.

Знаменатель $x^2+2xy+y^2$ — это квадрат суммы: $(x+y)^2$.

Дробь принимает вид: $\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)^2}$ или $\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)(x+y)}$.

Сокращаем на общий множитель $(x+y)$:

$\frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{(x+y)\cancel{(x+y)}} = \frac{x-y}{x+y}$.

Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$.

е) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $a^2-2ab+b^2$ — это квадрат разности: $(a-b)^2$.

Знаменатель $a^2-b^2$ — это разность квадратов: $(a-b)(a+b)$.

Подставляем в дробь: $\frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}$ или $\frac{(a-b)(a-b)}{(a-b)(a+b)}$.

Сокращаем на общий множитель $(a-b)$:

$\frac{(a-b)\cancel{(a-b)}}{\cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{a-b}{a+b}$.

Ответ: $\frac{a-b}{a+b}$.

Выполните умножение (855—857).

855 a) $(y - 3)(y + 3);$

б) $(1 - x)(1 + x);$

в) $(m - n)(m + n);$

г) $(x + y)(x - y);$

д) $(x - 2)(2 + x);$

е) $(c + a)(a - c).$

а) Для выполнения умножения $(y - 3)(y + 3)$ используется формула сокращенного умножения, известная как разность квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В данном примере $a = y$ и $b = 3$.
Подставляем значения в формулу: $(y - 3)(y + 3) = y^2 - 3^2 = y^2 - 9$.
Ответ: $y^2 - 9$.

б) Выражение $(1 - x)(1 + x)$ также является примером разности квадратов. Здесь $a = 1$ и $b = x$.
Применяем ту же формулу: $(1 - x)(1 + x) = 1^2 - x^2 = 1 - x^2$.
Ответ: $1 - x^2$.

в) Для выражения $(m - n)(m + n)$ используем формулу разности квадратов, где $a = m$ и $b = n$.
Выполняем умножение: $(m - n)(m + n) = m^2 - n^2$.
Ответ: $m^2 - n^2$.

г) В выражении $(x + y)(x - y)$ порядок сомножителей не влияет на результат. Это также формула разности квадратов, где $a = x$ и $b = y$.
Применяем формулу: $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.
Ответ: $x^2 - y^2$.

д) В выражении $(x - 2)(2 + x)$ можно поменять местами слагаемые во втором сомножителе, чтобы привести его к стандартному виду: $(x - 2)(x + 2)$. Здесь $a = x$ и $b = 2$.
Используем формулу разности квадратов: $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.
Ответ: $x^2 - 4$.

е) Выражение $(c + a)(a - c)$ можно преобразовать, поменяв местами слагаемые в первом сомножителе: $(a + c)(a - c)$. Теперь оно соответствует формуле разности квадратов, где первый член это $a$, а второй — $c$.
Применяем формулу: $(a + c)(a - c) = a^2 - c^2$.
Ответ: $a^2 - c^2$.

856 а) $(1 + 3m)(1 - 3m);$

б) $(2x - 1)(2x + 1);$

в) $(2x - y)(2x + y);$

г) $(a - 3b)(3b + a);$

д) $(4x + 3y)(3y - 4x);$

е) $(5b - 10c)(5b + 10c).$

а) Для умножения данных двучленов используется формула сокращенного умножения — разность квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. В этом выражении $x=1$ и $y=3m$.
$(1 + 3m)(1 - 3m) = 1^2 - (3m)^2 = 1 - 3^2m^2 = 1 - 9m^2$.
Ответ: $1 - 9m^2$.

б) Применяем ту же формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. В данном случае $x=2x$ и $y=1$.
$(2x - 1)(2x + 1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$.
Ответ: $4x^2 - 1$.

в) Снова используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Здесь $x=2x$ и $y=y$.
$(2x - y)(2x + y) = (2x)^2 - y^2 = 4x^2 - y^2$.
Ответ: $4x^2 - y^2$.

г) Чтобы применить формулу разности квадратов, поменяем местами слагаемые во второй скобке (от перемены мест слагаемых сумма не меняется): $(a - 3b)(3b + a) = (a - 3b)(a + 3b)$.
Теперь это соответствует виду $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=a$ и $y=3b$.
$(a - 3b)(a + 3b) = a^2 - (3b)^2 = a^2 - 9b^2$.
Ответ: $a^2 - 9b^2$.

д) Преобразуем выражение, поменяв местами слагаемые в первой скобке: $(4x + 3y)(3y - 4x) = (3y + 4x)(3y - 4x)$.
Теперь выражение можно упростить по формуле разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=3y$ и $y=4x$.
$(3y + 4x)(3y - 4x) = (3y)^2 - (4x)^2 = 9y^2 - 16x^2$.
Ответ: $9y^2 - 16x^2$.

е) Данное выражение является произведением разности и суммы двух выражений, поэтому применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Здесь $x=5b$ и $y=10c$.
$(5b - 10c)(5b + 10c) = (5b)^2 - (10c)^2 = 25b^2 - 100c^2$.
Ответ: $25b^2 - 100c^2$.

857 a) $(x^2 + 2)(x^2 - 2);$

б) $(y - a^2)(y + a^2);$

в) $(a^2 - 4)(a^2 + 4);$

Г) $(x^3 + 5)(x^3 - 5);$

Д) $(ab - c)(ab + c);$

e) $(1 - xy)(xy + 1).$

Для решения всех представленных примеров используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

а) $(x^2 + 2)(x^2 - 2)$

В данном выражении мы можем применить формулу разности квадратов. Порядок множителей не имеет значения, поэтому $(x^2 + 2)(x^2 - 2)$ эквивалентно $(x^2 - 2)(x^2 + 2)$.

Здесь в качестве $a$ выступает $x^2$, а в качестве $b$ — число $2$.

Подставим эти значения в формулу: $(x^2)^2 - 2^2$.

Выполним возведение в степень: $(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$ и $2^2 = 4$.

В результате получаем: $x^4 - 4$.

Ответ: $x^4 - 4$.

б) $(y - a^2)(y + a^2)$

Это выражение также соответствует формуле разности квадратов.

Здесь $a = y$ и $b = a^2$.

Применяем формулу: $y^2 - (a^2)^2$.

Возводим в степень: $(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$.

Итоговое выражение: $y^2 - a^4$.

Ответ: $y^2 - a^4$.

в) $(a^2 - 4)(a^2 + 4)$

Снова используем формулу разности квадратов.

В этом случае $a = a^2$ и $b = 4$.

Подставляем в формулу: $(a^2)^2 - 4^2$.

Вычисляем степени: $(a^2)^2 = a^4$ и $4^2 = 16$.

Получаем: $a^4 - 16$.

Ответ: $a^4 - 16$.

г) $(x^3 + 5)(x^3 - 5)$

Применяем ту же формулу разности квадратов.

Здесь $a = x^3$ и $b = 5$.

Подставляем в формулу: $(x^3)^2 - 5^2$.

Выполняем возведение в степень: $(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$ и $5^2 = 25$.

Результат: $x^6 - 25$.

Ответ: $x^6 - 25$.

д) $(ab - c)(ab + c)$

Это выражение также является разностью квадратов.

Здесь $a = ab$ и $b = c$.

Применяем формулу: $(ab)^2 - c^2$.

Возводим в степень: $(ab)^2 = a^2b^2$.

Получаем выражение: $a^2b^2 - c^2$.

Ответ: $a^2b^2 - c^2$.

е) $(1 - xy)(xy + 1)$

Чтобы увидеть формулу, поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(xy + 1) = (1 + xy)$.

Теперь выражение имеет вид: $(1 - xy)(1 + xy)$.

Это классическая форма разности квадратов, где $a = 1$ и $b = xy$.

Применяем формулу: $1^2 - (xy)^2$.

Вычисляем: $1^2 = 1$ и $(xy)^2 = x^2y^2$.

Конечный результат: $1 - x^2y^2$.

Ответ: $1 - x^2y^2$.