Страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

866 Возьмите любые три последовательных натуральных числа и убедитесь в том, что $ (n-1)(n+1) = n^2 - 1 $. Докажите это утверждение. (Обозначьте среднее число буквой n.)

Задача состоит из двух частей: проверки утверждения на конкретном примере и его общего доказательства.

Проверка утверждения на примере

Возьмем три произвольных последовательных натуральных числа, например, 5, 6 и 7.
Крайние числа в этой последовательности — 5 и 7. Найдем их произведение:
$5 \times 7 = 35$

Среднее число — 6. Найдем квадрат среднего числа и уменьшим его на единицу:
$6^2 - 1 = 36 - 1 = 35$

Сравнивая результаты, видим, что они равны: $35 = 35$. Утверждение для чисел 5, 6, 7 выполняется.

Возьмем другой пример: 12, 13, 14.
Произведение крайних чисел: $12 \times 14 = 168$.
Квадрат среднего, уменьшенный на единицу: $13^2 - 1 = 169 - 1 = 168$.
Результаты снова совпали: $168 = 168$.

Ответ: На конкретных примерах мы убедились, что произведение крайних из трех последовательных натуральных чисел действительно равно квадрату среднего, уменьшенному на единицу.

Доказательство утверждения

Для доказательства утверждения в общем виде, обозначим среднее из трех последовательных натуральных чисел буквой $n$, как предложено в условии.

Поскольку числа являются последовательными, то число, предшествующее $n$, будет равно $n-1$, а число, следующее за $n$, будет равно $n+1$.
Таким образом, мы имеем три последовательных натуральных числа: $(n-1)$, $n$, $(n+1)$.

Крайними числами в этой тройке являются $(n-1)$ и $(n+1)$. Их произведение равно:
$(n-1)(n+1)$

Среднее число — это $n$. Квадрат среднего числа, уменьшенный на единицу, записывается как:
$n^2 - 1$

Нам необходимо доказать, что произведение крайних чисел равно квадрату среднего, уменьшенному на единицу. Запишем это в виде тождества:
$(n-1)(n+1) = n^2 - 1$

Чтобы доказать это тождество, преобразуем его левую часть, используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
В нашем случае $a=n$, а $b=1$:
$(n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$

В результате преобразования мы получили, что левая часть тождества равна его правой части:
$n^2 - 1 = n^2 - 1$
Это означает, что исходное утверждение верно для любой тройки последовательных натуральных чисел.

Ответ: Утверждение доказано. Для любого натурального $n>1$ (среднего из трех последовательных натуральных чисел) произведение крайних чисел $(n-1)(n+1)$ всегда равно $n^2 - 1$.

Представьте в виде многочлена (867–868).

867 a) $(a + 3)(a - 3) + (a + 2)(a - 2) - a(2a + 1) + 4;$

б) $(x + 1)(x - 1) + (x + 5)(x - 5) - 2x(x + 3) + 6;$

в) $(1 - 2x)(1 + 2x) - (2 - x)(2 + x) + 5(x^2 - 1) - 3.$

а) $(a + 3)(a - 3) + (a + 2)(a - 2) - a(2a + 1) + 4$

Для упрощения данного выражения мы воспользуемся формулой разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ и распределительным свойством умножения.

1. Упростим произведение $(a + 3)(a - 3)$ по формуле разности квадратов:

$(a + 3)(a - 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$

2. Аналогично упростим $(a + 2)(a - 2)$:

$(a + 2)(a - 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$

3. Раскроем скобки в выражении $-a(2a + 1)$:

$-a(2a + 1) = -a \cdot 2a - a \cdot 1 = -2a^2 - a$

4. Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(a^2 - 9) + (a^2 - 4) - 2a^2 - a + 4$

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^2 + a^2 - 2a^2) - a + (-9 - 4 + 4) = 0 \cdot a^2 - a - 9 = -a - 9$

Ответ: $-a - 9$

б) $(x + 1)(x - 1) + (x + 5)(x - 5) - 2x(x + 3) + 6$

Используем те же алгебраические правила, что и в предыдущем пункте.

1. Упростим $(x + 1)(x - 1)$ по формуле разности квадратов:

$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

2. Упростим $(x + 5)(x - 5)$:

$(x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25$

3. Раскроем скобки в $-2x(x + 3)$:

$-2x(x + 3) = -2x \cdot x - 2x \cdot 3 = -2x^2 - 6x$

4. Подставим все части в исходное выражение:

$(x^2 - 1) + (x^2 - 25) - 2x^2 - 6x + 6$

5. Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2 - 2x^2) - 6x + (-1 - 25 + 6) = 0 \cdot x^2 - 6x - 20 = -6x - 20$

Ответ: $-6x - 20$

в) $(1 - 2x)(1 + 2x) - (2 - x)(2 + x) + 5(x^2 - 1) - 3$

Снова применяем формулу разности квадратов и распределительное свойство.

1. Упростим $(1 - 2x)(1 + 2x)$:

$(1 - 2x)(1 + 2x) = 1^2 - (2x)^2 = 1 - 4x^2$

2. Упростим $-(2 - x)(2 + x)$. Сначала применяем формулу разности квадратов, а затем меняем знаки:

$-(2^2 - x^2) = -(4 - x^2) = -4 + x^2$

3. Раскроем скобки в $5(x^2 - 1)$:

$5(x^2 - 1) = 5x^2 - 5$

4. Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(1 - 4x^2) + (-4 + x^2) + (5x^2 - 5) - 3 = 1 - 4x^2 - 4 + x^2 + 5x^2 - 5 - 3$

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-4x^2 + x^2 + 5x^2) + (1 - 4 - 5 - 3) = (-4 + 1 + 5)x^2 + (1 - 12) = 2x^2 - 11$

Ответ: $2x^2 - 11$

868 а) $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2);$

б) $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1);$

В) $(1 - a)(1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4);$

Г) $(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1).$

а) Для решения этого примера мы будем последовательно применять формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Сначала перемножим первые две скобки выражения $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Теперь исходное выражение можно записать в виде: $(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$.
Мы снова получили выражение, к которому можно применить формулу разности квадратов, где в качестве $a$ выступает $x^2$, а в качестве $b$ - $y^2$: $(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$.
Ответ: $x^4 - y^4$.

б) Этот пример решается аналогично предыдущему с использованием формулы разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Рассмотрим выражение $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)$.
Перемножим первые два множителя: $(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$.
Подставим результат в исходное выражение: $(a^2 - 1)(a^2 + 1)$.
Снова применяем формулу разности квадратов: $(a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$.
Ответ: $a^4 - 1$.

в) В данном примере формула разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ применяется несколько раз подряд.
Исходное выражение: $(1 - a)(1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)$.
1. Перемножим первые две скобки: $(1 - a)(1 + a) = 1^2 - a^2 = 1 - a^2$.
Выражение принимает вид: $(1 - a^2)(1 + a^2)(1 + a^4)$.
2. Теперь перемножим первые две скобки получившегося выражения: $(1 - a^2)(1 + a^2) = 1^2 - (a^2)^2 = 1 - a^4$.
Выражение принимает вид: $(1 - a^4)(1 + a^4)$.
3. Применяем формулу в последний раз: $(1 - a^4)(1 + a^4) = 1^2 - (a^4)^2 = 1 - a^8$.
Ответ: $1 - a^8$.

г) Этот пример также решается путем последовательного применения формулы разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Исходное выражение: $(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)$.
1. Перемножим первые две скобки: $(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$.
Выражение становится: $(x^4 - 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)$.
2. Перемножим следующие две скобки: $(x^4 - 1)(x^4 + 1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8 - 1$.
Выражение становится: $(x^8 - 1)(x^8 + 1)$.
3. Выполним последнее умножение: $(x^8 - 1)(x^8 + 1) = (x^8)^2 - 1^2 = x^{16} - 1$.
Ответ: $x^{16} - 1$.

Используйте формулу $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $ для преобразования произведения в многочлен (869-870).

869 a) $ (ax + ay)(x - y) $;

б) $ (x + y)(x^2 - xy) $;

в) $ (b - c)(2ac + 2ab) $;

г) $ (2 + x)(6y - 3xy) $.

а)

В выражении $(ax + ay)(x - y)$ сначала вынесем общий множитель $a$ из первого сомножителя: $a(x + y)$. В результате получим произведение $a(x + y)(x - y)$. Часть этого выражения, $(x + y)(x - y)$, является произведением суммы и разности, которое можно преобразовать по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. В данном случае $a=x$ и $b=y$, поэтому $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. Подставим полученный результат обратно: $a(x^2 - y^2)$. Теперь раскроем скобки, умножив $a$ на содержимое: $ax^2 - ay^2$.

Ответ: $ax^2 - ay^2$.

б)

Рассмотрим произведение $(x + y)(x^2 - xy)$. Во втором сомножителе $(x^2 - xy)$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - y)$. Теперь всё выражение имеет вид $(x + y)x(x - y)$. Перегруппируем множители для наглядности: $x(x + y)(x - y)$. Здесь $(x + y)(x - y)$ является разностью квадратов $x^2 - y^2$. Подставим это в выражение: $x(x^2 - y^2)$. Осталось раскрыть скобки, умножив $x$ на каждый член внутри них: $x \cdot x^2 - x \cdot y^2 = x^3 - xy^2$.

Ответ: $x^3 - xy^2$.

в)

В выражении $(b - c)(2ac + 2ab)$ вынесем общий множитель $2a$ из второго сомножителя: $2a(c + b)$. Получим произведение $(b - c)2a(c + b)$. Переставим множители для удобства, учитывая, что $c+b = b+c$: $2a(b - c)(b + c)$. Произведение $(b - c)(b + c)$ преобразуется по формуле разности квадратов в $b^2 - c^2$. Подставим это обратно в наше выражение: $2a(b^2 - c^2)$. Раскроем скобки: $2a \cdot b^2 - 2a \cdot c^2 = 2ab^2 - 2ac^2$.

Ответ: $2ab^2 - 2ac^2$.

г)

Рассмотрим выражение $(2 + x)(6y - 3xy)$. Во втором сомножителе $(6y - 3xy)$ вынесем за скобки общий множитель $3y$: $3y(2 - x)$. Всё выражение примет вид $(2 + x)3y(2 - x)$. Перегруппируем множители: $3y(2 + x)(2 - x)$. Часть $(2 + x)(2 - x)$ является произведением суммы и разности и по формуле разности квадратов равна $2^2 - x^2 = 4 - x^2$. Подставим это в выражение: $3y(4 - x^2)$. Раскроем скобки, умножив $3y$ на многочлен: $3y \cdot 4 - 3y \cdot x^2 = 12y - 3x^2y$.

Ответ: $12y - 3x^2y$.

870 a) $(a + b - c)(a + b + c);$

Б) $(x + y - z)(x - y + z);$

В) $(a^2 + 2a - 1)(a^2 - 2a + 1);$

Г) $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2).$

а) Для упрощения выражения $(a + b - c)(a + b + c)$, сгруппируем члены, чтобы применить формулу разности квадратов: $(X - Y)(X + Y) = X^2 - Y^2$. Перепишем выражение так: $((a + b) - c)((a + b) + c)$. Здесь в качестве $X$ выступает $(a+b)$, а в качестве $Y$ выступает $c$. Применяя формулу, получаем: $(a + b)^2 - c^2$. Теперь раскроем квадрат суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Подставив, получаем итоговое выражение: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$. Ответ: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$.

б) Для упрощения выражения $(x + y - z)(x - y + z)$, также воспользуемся формулой разности квадратов. Для этого необходимо правильно сгруппировать члены. Перепишем выражение, вынеся минус за скобки во втором множителе и сгруппировав члены в первом: $(x + (y - z))(x - (y - z))$. Здесь в качестве $X$ выступает $x$, а в качестве $Y$ выступает $(y - z)$. Применяя формулу разности квадратов, получаем: $x^2 - (y - z)^2$. Теперь раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. $(y - z)^2 = y^2 - 2yz + z^2$. Подставим и раскроем скобки: $x^2 - (y^2 - 2yz + z^2) = x^2 - y^2 + 2yz - z^2$. Ответ: $x^2 - y^2 + 2yz - z^2$.

в) Для упрощения выражения $(a^2 + 2a - 1)(a^2 - 2a + 1)$, сгруппируем члены для применения формулы разности квадратов. Перепишем множители следующим образом: $(a^2 + (2a - 1))(a^2 - (2a - 1))$. Обратите внимание, что $-(2a-1) = -2a+1$, что соответствует второму множителю. Здесь в качестве $X$ выступает $a^2$, а в качестве $Y$ выступает $(2a - 1)$. Применяя формулу, получаем: $(a^2)^2 - (2a - 1)^2$. Возводим в степень: $(a^2)^2 = a^4$. Раскрываем квадрат разности: $(2a - 1)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 - 4a + 1$. Подставляем и раскрываем скобки: $a^4 - (4a^2 - 4a + 1) = a^4 - 4a^2 + 4a - 1$. Ответ: $a^4 - 4a^2 + 4a - 1$.

г) Для упрощения выражения $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$, сгруппируем члены, чтобы использовать формулу разности квадратов. Переставим слагаемые в скобках: $((x^2 + 2) - 2x)((x^2 + 2) + 2x)$. Здесь в качестве $X$ выступает $(x^2 + 2)$, а в качестве $Y$ выступает $2x$. Применяем формулу разности квадратов: $(x^2 + 2)^2 - (2x)^2$. Раскроем квадрат суммы: $(x^2 + 2)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 2 + 2^2 = x^4 + 4x^2 + 4$. Возведем в квадрат второй член: $(2x)^2 = 4x^2$. Подставляем и упрощаем: $(x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = x^4 + 4$. Ответ: $x^4 + 4$.