Номер 867, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.3. Формула разности квадратов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 867, страница 237.

Представьте в виде многочлена (867–868).

867 a) $(a + 3)(a - 3) + (a + 2)(a - 2) - a(2a + 1) + 4;$

б) $(x + 1)(x - 1) + (x + 5)(x - 5) - 2x(x + 3) + 6;$

в) $(1 - 2x)(1 + 2x) - (2 - x)(2 + x) + 5(x^2 - 1) - 3.$

а) $(a + 3)(a - 3) + (a + 2)(a - 2) - a(2a + 1) + 4$

Для упрощения данного выражения мы воспользуемся формулой разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ и распределительным свойством умножения.

1. Упростим произведение $(a + 3)(a - 3)$ по формуле разности квадратов:

$(a + 3)(a - 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$

2. Аналогично упростим $(a + 2)(a - 2)$:

$(a + 2)(a - 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$

3. Раскроем скобки в выражении $-a(2a + 1)$:

$-a(2a + 1) = -a \cdot 2a - a \cdot 1 = -2a^2 - a$

4. Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(a^2 - 9) + (a^2 - 4) - 2a^2 - a + 4$

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^2 + a^2 - 2a^2) - a + (-9 - 4 + 4) = 0 \cdot a^2 - a - 9 = -a - 9$

Ответ: $-a - 9$

б) $(x + 1)(x - 1) + (x + 5)(x - 5) - 2x(x + 3) + 6$

Используем те же алгебраические правила, что и в предыдущем пункте.

1. Упростим $(x + 1)(x - 1)$ по формуле разности квадратов:

$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

2. Упростим $(x + 5)(x - 5)$:

$(x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25$

3. Раскроем скобки в $-2x(x + 3)$:

$-2x(x + 3) = -2x \cdot x - 2x \cdot 3 = -2x^2 - 6x$

4. Подставим все части в исходное выражение:

$(x^2 - 1) + (x^2 - 25) - 2x^2 - 6x + 6$

5. Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2 - 2x^2) - 6x + (-1 - 25 + 6) = 0 \cdot x^2 - 6x - 20 = -6x - 20$

Ответ: $-6x - 20$

в) $(1 - 2x)(1 + 2x) - (2 - x)(2 + x) + 5(x^2 - 1) - 3$

Снова применяем формулу разности квадратов и распределительное свойство.

1. Упростим $(1 - 2x)(1 + 2x)$:

$(1 - 2x)(1 + 2x) = 1^2 - (2x)^2 = 1 - 4x^2$

2. Упростим $-(2 - x)(2 + x)$. Сначала применяем формулу разности квадратов, а затем меняем знаки:

$-(2^2 - x^2) = -(4 - x^2) = -4 + x^2$

3. Раскроем скобки в $5(x^2 - 1)$:

$5(x^2 - 1) = 5x^2 - 5$

4. Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(1 - 4x^2) + (-4 + x^2) + (5x^2 - 5) - 3 = 1 - 4x^2 - 4 + x^2 + 5x^2 - 5 - 3$

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-4x^2 + x^2 + 5x^2) + (1 - 4 - 5 - 3) = (-4 + 1 + 5)x^2 + (1 - 12) = 2x^2 - 11$

Ответ: $2x^2 - 11$