Номер 865, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.3. Формула разности квадратов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 865, страница 236.

865 Докажите, что:

а) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел; $(n+1)^2 - n^2 = n + (n+1)$

б) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел. $(2k+2)^2 - (2k)^2 = 2((2k) + (2k+2))$

Проиллюстрируйте доказанные утверждения конкретными примерами.

а) Докажем, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел.

Пусть даны два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$. Разность их квадратов равна $(n+1)^2 - n^2$, а сумма этих чисел — $n + (n+1)$. Необходимо доказать тождество: $(n+1)^2 - n^2 = n + (n+1)$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(n+1)^2 - n^2 = ((n+1)-n)((n+1)+n) = 1 \cdot (2n+1) = 2n+1$.

Теперь преобразуем правую часть равенства:

$n + (n+1) = 2n+1$.

Поскольку левая и правая части равенства тождественно равны ($2n+1 = 2n+1$), утверждение доказано.

Иллюстрация:

Возьмем в качестве примера числа 7 и 8. Разность их квадратов: $8^2 - 7^2 = 64 - 49 = 15$. Сумма этих чисел: $7 + 8 = 15$. Равенство $15 = 15$ подтверждает доказанное утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Разность квадратов двух последовательных натуральных чисел $(n+1)^2 - n^2$ равна их сумме $n+(n+1)$.

б) Докажем, что разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел.

Пусть даны два последовательных чётных числа. Их можно представить в виде $2n$ и $2n+2$, где $n$ — натуральное число. Разность их квадратов равна $(2n+2)^2 - (2n)^2$. Сумма этих чисел: $2n + (2n+2) = 4n+2$. Удвоенная сумма этих чисел: $2(2n + (2n+2)) = 2(4n+2)$. Необходимо доказать тождество: $(2n+2)^2 - (2n)^2 = 2(2n + (2n+2))$.

Преобразуем левую часть равенства по формуле разности квадратов:

$(2n+2)^2 - (2n)^2 = ((2n+2)-2n)((2n+2)+2n) = 2 \cdot (4n+2) = 8n+4$.

Преобразуем правую часть:

$2(2n + (2n+2)) = 2(4n+2) = 8n+4$.

Поскольку левая и правая части равенства тождественно равны ($8n+4 = 8n+4$), утверждение доказано.

Иллюстрация:

Возьмем в качестве примера чётные числа 10 и 12. Разность их квадратов: $12^2 - 10^2 = 144 - 100 = 44$. Сумма этих чисел: $10 + 12 = 22$. Удвоенная сумма: $2 \cdot 22 = 44$. Равенство $44 = 44$ подтверждает доказанное утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Разность квадратов двух последовательных чётных чисел $(2n+2)^2 - (2n)^2$ равна их удвоенной сумме $2((2n+2) + 2n)$.