Номер 869, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.3. Формула разности квадратов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 869, страница 237.

Используйте формулу $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $ для преобразования произведения в многочлен (869-870).

869 a) $ (ax + ay)(x - y) $;

б) $ (x + y)(x^2 - xy) $;

в) $ (b - c)(2ac + 2ab) $;

г) $ (2 + x)(6y - 3xy) $.

а)

В выражении $(ax + ay)(x - y)$ сначала вынесем общий множитель $a$ из первого сомножителя: $a(x + y)$. В результате получим произведение $a(x + y)(x - y)$. Часть этого выражения, $(x + y)(x - y)$, является произведением суммы и разности, которое можно преобразовать по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. В данном случае $a=x$ и $b=y$, поэтому $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. Подставим полученный результат обратно: $a(x^2 - y^2)$. Теперь раскроем скобки, умножив $a$ на содержимое: $ax^2 - ay^2$.

Ответ: $ax^2 - ay^2$.

б)

Рассмотрим произведение $(x + y)(x^2 - xy)$. Во втором сомножителе $(x^2 - xy)$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - y)$. Теперь всё выражение имеет вид $(x + y)x(x - y)$. Перегруппируем множители для наглядности: $x(x + y)(x - y)$. Здесь $(x + y)(x - y)$ является разностью квадратов $x^2 - y^2$. Подставим это в выражение: $x(x^2 - y^2)$. Осталось раскрыть скобки, умножив $x$ на каждый член внутри них: $x \cdot x^2 - x \cdot y^2 = x^3 - xy^2$.

Ответ: $x^3 - xy^2$.

в)

В выражении $(b - c)(2ac + 2ab)$ вынесем общий множитель $2a$ из второго сомножителя: $2a(c + b)$. Получим произведение $(b - c)2a(c + b)$. Переставим множители для удобства, учитывая, что $c+b = b+c$: $2a(b - c)(b + c)$. Произведение $(b - c)(b + c)$ преобразуется по формуле разности квадратов в $b^2 - c^2$. Подставим это обратно в наше выражение: $2a(b^2 - c^2)$. Раскроем скобки: $2a \cdot b^2 - 2a \cdot c^2 = 2ab^2 - 2ac^2$.

Ответ: $2ab^2 - 2ac^2$.

г)

Рассмотрим выражение $(2 + x)(6y - 3xy)$. Во втором сомножителе $(6y - 3xy)$ вынесем за скобки общий множитель $3y$: $3y(2 - x)$. Всё выражение примет вид $(2 + x)3y(2 - x)$. Перегруппируем множители: $3y(2 + x)(2 - x)$. Часть $(2 + x)(2 - x)$ является произведением суммы и разности и по формуле разности квадратов равна $2^2 - x^2 = 4 - x^2$. Подставим это в выражение: $3y(4 - x^2)$. Раскроем скобки, умножив $3y$ на многочлен: $3y \cdot 4 - 3y \cdot x^2 = 12y - 3x^2y$.

Ответ: $12y - 3x^2y$.