Номер 874, страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.4. Формулы разности и суммы кубов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 874, страница 238.

874 а) $p^3 - q^3$;

б) $a^3 - 8$;

в) $1 - x^3$;

г) $-x^3 + y^3$;

д) $b^3 - \frac{1}{125}$;

е) $\frac{1}{27} - t^3$.

а) Данное выражение является разностью кубов. Для его разложения на множители используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В этом примере $a = p$ и $b = q$.
Применяем формулу:
$p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2)$.
Ответ: $(p - q)(p^2 + pq + q^2)$.

б) Это выражение также является разностью кубов. Сначала представим число 8 в виде куба: $8 = 2^3$.
Теперь выражение имеет вид $a^3 - 2^3$.
Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = a$ и $b = 2$.
Подставляем значения в формулу:
$a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.
Ответ: $(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.

в) Выражение $1 - x^3$ можно представить как разность кубов, так как $1 = 1^3$.
Таким образом, получаем $1^3 - x^3$.
Применяем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 1$ и $b = x$.
$1^3 - x^3 = (1 - x)(1^2 + 1 \cdot x + x^2) = (1 - x)(1 + x + x^2)$.
Ответ: $(1 - x)(1 + x + x^2)$.

г) Переставим слагаемые в выражении $-x^3 + y^3$, чтобы получить стандартный вид разности кубов: $y^3 - x^3$.
Используем формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = y$ и $b = x$.
$y^3 - x^3 = (y - x)(y^2 + yx + x^2)$.
Ответ: $(y - x)(y^2 + yx + x^2)$.

д) Это разность кубов. Представим дробь $\frac{1}{125}$ в виде куба: $\frac{1}{125} = (\frac{1}{5})^3$.
Выражение принимает вид $b^3 - (\frac{1}{5})^3$.
Применяем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = b$ и $b = \frac{1}{5}$.
$b^3 - (\frac{1}{5})^3 = (b - \frac{1}{5})(b^2 + b \cdot \frac{1}{5} + (\frac{1}{5})^2) = (b - \frac{1}{5})(b^2 + \frac{1}{5}b + \frac{1}{25})$.
Ответ: $(b - \frac{1}{5})(b^2 + \frac{1}{5}b + \frac{1}{25})$.

е) Выражение $\frac{1}{27} - t^3$ является разностью кубов. Представим $\frac{1}{27}$ как куб числа: $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$.
Получаем выражение $(\frac{1}{3})^3 - t^3$.
Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \frac{1}{3}$ и $b = t$.
$(\frac{1}{3})^3 - t^3 = (\frac{1}{3} - t)((\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} \cdot t + t^2) = (\frac{1}{3} - t)(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}t + t^2)$.
Ответ: $(\frac{1}{3} - t)(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}t + t^2)$.