Номер 879, страница 239 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.4. Формулы разности и суммы кубов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 879, страница 239.

879 a) $(x+y)^3-(x-y)^3$;

Б) $(a-b)^3+(a+b)^3$;

В) $(n+3)^3-(n-3)^3$;

Г) $(m-1)^3+(m+1)^3$.

а)

Для упрощения выражения $(x+y)^3 - (x-y)^3$ воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

$(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$

$(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$

Раскроем каждую скобку в исходном выражении:

$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

$(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Теперь выполним вычитание второго многочлена из первого:

$(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3)$

Раскрываем скобки, меняя знаки у всех членов второго многочлена на противоположные:

$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3$

Приводим подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + (3x^2y + 3x^2y) + (3xy^2 - 3xy^2) + (y^3 + y^3) = 6x^2y + 2y^3$

Ответ: $6x^2y + 2y^3$

б)

Для выражения $(a-b)^3 + (a+b)^3$ используем те же формулы куба разности и куба суммы.

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Теперь сложим полученные многочлены:

$(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) + (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)$

Приводим подобные слагаемые:

$(a^3 + a^3) + (-3a^2b + 3a^2b) + (3ab^2 + 3ab^2) + (-b^3 + b^3) = 2a^3 + 6ab^2$

Ответ: $2a^3 + 6ab^2$

в)

Упростим выражение $(n+3)^3 - (n-3)^3$, раскрыв скобки по формулам куба суммы и куба разности.

Раскроем куб суммы $(n+3)^3$:

$(n+3)^3 = n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 3 + 3 \cdot n \cdot 3^2 + 3^3 = n^3 + 9n^2 + 27n + 27$

Раскроем куб разности $(n-3)^3$:

$(n-3)^3 = n^3 - 3 \cdot n^2 \cdot 3 + 3 \cdot n \cdot 3^2 - 3^3 = n^3 - 9n^2 + 27n - 27$

Вычтем второе выражение из первого:

$(n^3 + 9n^2 + 27n + 27) - (n^3 - 9n^2 + 27n - 27)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n^3 + 9n^2 + 27n + 27 - n^3 + 9n^2 - 27n + 27 = (n^3 - n^3) + (9n^2 + 9n^2) + (27n - 27n) + (27 + 27) = 18n^2 + 54$

Ответ: $18n^2 + 54$

г)

Аналогично предыдущим примерам, раскроем скобки в выражении $(m-1)^3 + (m+1)^3$ и приведем подобные слагаемые.

Раскроем куб разности $(m-1)^3$:

$(m-1)^3 = m^3 - 3 \cdot m^2 \cdot 1 + 3 \cdot m \cdot 1^2 - 1^3 = m^3 - 3m^2 + 3m - 1$

Раскроем куб суммы $(m+1)^3$:

$(m+1)^3 = m^3 + 3 \cdot m^2 \cdot 1 + 3 \cdot m \cdot 1^2 + 1^3 = m^3 + 3m^2 + 3m + 1$

Сложим полученные многочлены:

$(m^3 - 3m^2 + 3m - 1) + (m^3 + 3m^2 + 3m + 1)$

Приведем подобные слагаемые:

$(m^3 + m^3) + (-3m^2 + 3m^2) + (3m + 3m) + (-1 + 1) = 2m^3 + 6m$

Ответ: $2m^3 + 6m$