Номер 883, страница 239 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.4. Формулы разности и суммы кубов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 883, страница 239.

883 Представьте выражение в виде многочлена:

a) $(a - b)(a + b)(a^4 + a^2b^2 + b^4);$

б) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1);$

в) $(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2);$

г) $(a + b)^2(a^2 - ab + b^2)^2.$

а) Чтобы представить выражение $(a - b)(a + b)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$ в виде многочлена, воспользуемся формулами сокращенного умножения.

Сначала применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ к первым двум множителям:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$(a^2 - b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$

Это выражение соответствует формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = a^2$ и $y = b^2$. Второй множитель $(a^2)^2 + (a^2)(b^2) + (b^2)^2 = a^4 + a^2b^2 + b^4$ полностью совпадает с формулой.

Применяя формулу, получаем:

$(a^2)^3 - (b^2)^3 = a^6 - b^6$

Ответ: $a^6 - b^6$

б) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1)$

Будем последовательно применять формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Умножим первые два множителя:

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$

Выражение примет вид:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1)$

Снова применяем формулу разности квадратов:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$

Теперь выражение выглядит так:

$(x^4 - 1)(x^8 + x^4 + 1)$

Это формула разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$, где $a = x^4$ и $b = 1$.

Применив эту формулу, получаем итоговый многочлен:

$(x^4)^3 - 1^3 = x^{12} - 1$

Ответ: $x^{12} - 1$

в) $(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$

Сгруппируем множители таким образом, чтобы можно было применить формулы суммы и разности кубов.

Группа 1: $(x - y)(x^2 + xy + y^2)$. Это формула разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, результат: $x^3 - y^3$.

Группа 2: $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$. Это формула суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, результат: $x^3 + y^3$.

Исходное выражение можно переписать как произведение результатов этих двух групп:

$(x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$

Теперь применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = x^3$ и $b = y^3$.

$(x^3)^2 - (y^3)^2 = x^6 - y^6$

Ответ: $x^6 - y^6$

г) $(a + b)^2(a^2 - ab + b^2)^2$

Воспользуемся свойством степеней $x^n y^n = (xy)^n$ и объединим выражения под одним знаком квадрата:

$[(a + b)(a^2 - ab + b^2)]^2$

Выражение в квадратных скобках является формулой суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

Подставим это в наше выражение:

$(a^3 + b^3)^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x = a^3$ и $y = b^3$.

$(a^3)^2 + 2(a^3)(b^3) + (b^3)^2 = a^6 + 2a^3b^3 + b^6$

Ответ: $a^6 + 2a^3b^3 + b^6$