Номер 888, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 888, страница 242.

Разложите на множители (888–895).

888 а) $x^8 - y^8$;

б) $a^8 - b^4$;

в) $x^4 - x^8$;

г) $a^9 - 1$;

д) $x^6 - 2^6$;

е) $a^6 - 1$.

а) $x^8 - y^8$

Для разложения на множители будем последовательно применять формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Сначала представим выражение как $(x^4)^2 - (y^4)^2$:
$x^8 - y^8 = (x^4)^2 - (y^4)^2 = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4)$.

Теперь разложим множитель $(x^4 - y^4)$, который также является разностью квадратов:
$x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$.

Множитель $(x^2 - y^2)$ снова является разностью квадратов:
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Собирая все вместе, получаем окончательное разложение:
$x^8 - y^8 = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)$.

Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)$.

б) $a^8 - b^4$

Представим выражение как разность квадратов $(a^4)^2 - (b^2)^2$ и применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a^8 - b^4 = (a^4)^2 - (b^2)^2 = (a^4 - b^2)(a^4 + b^2)$.

Множитель $(a^4 - b^2)$ также является разностью квадратов:
$a^4 - b^2 = (a^2)^2 - b^2 = (a^2 - b)(a^2 + b)$.

Таким образом, итоговое разложение:
$a^8 - b^4 = (a^2 - b)(a^2 + b)(a^4 + b^2)$.

Ответ: $(a^2 - b)(a^2 + b)(a^4 + b^2)$.

в) $x^4 - x^8$

Сначала вынесем общий множитель $x^4$ за скобки:
$x^4 - x^8 = x^4(1 - x^4)$.

Выражение в скобках $1 - x^4$ является разностью квадратов $1^2 - (x^2)^2$. Применим формулу:
$1 - x^4 = (1 - x^2)(1 + x^2)$.

Множитель $(1 - x^2)$ также является разностью квадратов:
$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$.

Подставляя все обратно, получаем:
$x^4 - x^8 = x^4(1 - x)(1 + x)(1 + x^2)$.

Ответ: $x^4(1 - x)(1 + x)(1 + x^2)$.

г) $a^9 - 1$

Представим выражение как разность кубов $(a^3)^3 - 1^3$. Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$a^9 - 1 = (a^3)^3 - 1^3 = (a^3 - 1)((a^3)^2 + a^3 \cdot 1 + 1^2) = (a^3 - 1)(a^6 + a^3 + 1)$.

Множитель $(a^3 - 1)$ также является разностью кубов:
$a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a \cdot 1 + 1^2) = (a - 1)(a^2 + a + 1)$.

Объединяем полученные множители:
$a^9 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + a^3 + 1)$.

Ответ: $(a - 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + a^3 + 1)$.

д) $x^6 - 2^6$

Это выражение можно разложить двумя способами: как разность квадратов или как разность кубов. Рассмотрим разложение как разность квадратов: $x^6 - 2^6 = (x^3)^2 - (2^3)^2$.

Применяем формулу разности квадратов:
$(x^3)^2 - (2^3)^2 = (x^3 - 2^3)(x^3 + 2^3)$.

Теперь раскладываем каждый множитель по формулам разности и суммы кубов ($a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ и $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$):
$x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.
$x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.

Итоговое разложение:
$x^6 - 2^6 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + 2x + 4)$.

е) $a^6 - 1$

Аналогично предыдущему примеру, представим выражение как разность квадратов $(a^3)^2 - 1^2$:
$a^6 - 1 = (a^3)^2 - 1^2 = (a^3 - 1)(a^3 + 1)$.

Теперь применим формулы разности и суммы кубов:
$a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$.
$a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1)$.

Собирая все множители вместе, получаем:
$a^6 - 1 = (a - 1)(a + 1)(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)$.

Ответ: $(a - 1)(a + 1)(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)$.