Номер 892, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 892, страница 242.

892 a) $a^3 + b^3 - a^2b - ab^2;$

Б) $xy^2 + x^2y - x^3 - y^3;$

В) $n^4 + an^3 - n - a;$

Г) $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.$

а) $a^3 + b^3 - a^2b - ab^2$

Для разложения на множители сгруппируем слагаемые. Один из способов группировки — объединить кубы и слагаемые со смешанными степенями:

$(a^3 + b^3) - (a^2b + ab^2)$.

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ к первой группе, а во второй вынесем за скобки общий множитель $-ab$:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b)$.

Теперь мы видим общий множитель $(a + b)$, который можно вынести за скобки:

$(a + b)((a^2 - ab + b^2) - ab)$.

Упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:

$(a + b)(a^2 - 2ab + b^2)$.

Выражение во второй скобке представляет собой формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Таким образом, итоговое разложение на множители имеет вид:

$(a + b)(a - b)^2$.

Ответ: $(a + b)(a - b)^2$.

б) $xy^2 + x^2y - x^3 - y^3$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(xy^2 + x^2y) - (x^3 + y^3)$.

В первой группе вынесем общий множитель $xy$. Ко второй группе применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$:

$xy(y + x) - (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Вынесем общий множитель $(x + y)$ за скобки:

$(x + y)(xy - (x^2 - xy + y^2))$.

Раскроем внутренние скобки и приведём подобные слагаемые:

$(x + y)(xy - x^2 + xy - y^2) = (x + y)(-x^2 + 2xy - y^2)$.

Вынесем знак минус из второй скобки, чтобы получить стандартную формулу полного квадрата:

$-(x + y)(x^2 - 2xy + y^2)$.

Выражение $x^2 - 2xy + y^2$ является квадратом разности $(x - y)^2$.

Окончательный результат разложения:

$-(x + y)(x - y)^2$.

Ответ: $-(x + y)(x - y)^2$.

в) $n^4 + an^3 - n - a$

Для разложения на множители используем метод группировки:

$(n^4 + an^3) - (n + a)$.

Из первой группы вынесем общий множитель $n^3$:

$n^3(n + a) - 1(n + a)$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(n + a)$:

$(n + a)(n^3 - 1)$.

Второй множитель $n^3 - 1$ является разностью кубов, которую можно разложить по формуле $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n \cdot 1 + 1^2) = (n - 1)(n^2 + n + 1)$.

Подставив это разложение в наше выражение, получаем окончательный ответ:

$(n + a)(n - 1)(n^2 + n + 1)$.

Ответ: $(n + a)(n - 1)(n^2 + n + 1)$.

г) $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Данное выражение является классической формулой сокращенного умножения, а именно — кубом разности.

Формула куба разности имеет вид: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Сравнивая исходное выражение с этой формулой, мы видим полное совпадение.

Следовательно, данное выражение можно свернуть в куб разности $(a - b)$.

Ответ: $(a - b)^3$.