Номер 899, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 899, страница 243.

899 ИССЛЕДУЕМ

1) Докажите, что:

а) $\frac{x^{16} - y^{16}}{x - y} = (x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8)$;

б) $\frac{x^{64} - y^{64}}{x - y} = (x + y)(x^2 + y^2) \dots (x^{32} + y^{32})$.

2) Что вы заметили? Можно ли сократить дробь $\frac{x^8 - y^8}{x - y}$? $\frac{x^{10} - y^{10}}{x - y}$?

3) Сократите дробь $\frac{x^{210} - y^{210}}{x - y}$.

1) Докажите, что:

а)

Чтобы доказать тождество $\frac{x^{16} - y^{16}}{x-y} = (x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)$, мы преобразуем числитель дроби в левой части. Для этого будем последовательно применять формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$x^{16} - y^{16} = (x^8)^2 - (y^8)^2 = (x^8 - y^8)(x^8 + y^8)$

Продолжим разложение множителя $(x^8 - y^8)$:

$x^8 - y^8 = (x^4)^2 - (y^4)^2 = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4)$

Далее разложим $(x^4 - y^4)$:

$x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$

И, наконец, $(x^2 - y^2)$:

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Теперь, собрав все множители вместе, мы получаем полное разложение исходного числителя:

$x^{16} - y^{16} = (x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)$

Подставим это выражение обратно в левую часть тождества:

$\frac{x^{16} - y^{16}}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)}{x-y}$

При условии, что $x \neq y$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x-y)$:

$(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)$

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью исходного тождества, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Доказательство тождества $\frac{x^{64} - y^{64}}{x-y} = (x+y)(x^2+y^2)...(x^{32}+y^{32})$ проводится аналогично предыдущему пункту. Разложим числитель $x^{64} - y^{64}$ на множители, многократно применяя формулу разности квадратов:

$x^{64} - y^{64} = (x^{32}-y^{32})(x^{32}+y^{32})$

Продолжая последовательно раскладывать первый множитель в каждом произведении, мы получим:

$x^{64} - y^{64} = (x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})$

Многоточие в правой части исходного равенства как раз и подразумевает все недостающие множители с показателями степени, являющимися степенями двойки от 1 до 4, то есть $(x^2+y^2), (x^4+y^4), (x^8+y^8), (x^{16}+y^{16})$.

Подставим полученное разложение в левую часть тождества:

$\frac{x^{64} - y^{64}}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)...(x^{32}+y^{32})}{x-y}$

После сокращения на $(x-y)$ (при $x \neq y$), левая часть становится равной правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Что вы заметили? Можно ли сократить дробь $\frac{x^8 - y^8}{x-y}$? $\frac{x^{10} - y^{10}}{x-y}$?

Можно заметить общую закономерность: выражение вида $x^n - y^n$ всегда делится без остатка на $x-y$ для любого натурального числа $n$. Это следует из общей формулы разности n-ых степеней:

$a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$

Задачи из пункта 1) являются частным случаем этой закономерности, когда показатель $n$ является степенью двойки ($n=2^k$). В этом случае разложение на множители получается особенно простым за счет многократного применения формулы разности квадратов.

Исходя из этого, обе предложенные дроби можно сократить.

Сокращение дроби $\frac{x^8 - y^8}{x-y}$:

Здесь показатель $8 = 2^3$, поэтому можно применить метод из пункта 1):

$\frac{x^8 - y^8}{x-y} = \frac{(x^4-y^4)(x^4+y^4)}{x-y} = \frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)(x^4+y^4)}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)}{x-y} = (x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$

Сокращение дроби $\frac{x^{10} - y^{10}}{x-y}$:

Здесь показатель $10$ не является степенью двойки. В этом случае мы применяем общую формулу разности степеней:

$\frac{x^{10} - y^{10}}{x-y} = x^9 + x^8y + x^7y^2 + x^6y^3 + x^5y^4 + x^4y^5 + x^3y^6 + x^2y^7 + xy^8 + y^9$

Ответ: Была замечена закономерность, что $x^n-y^n$ всегда делится на $x-y$. Да, обе дроби можно сократить.
$\frac{x^8 - y^8}{x-y} = (x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$.
$\frac{x^{10} - y^{10}}{x-y} = x^9 + x^8y + x^7y^2 + x^6y^3 + x^5y^4 + x^4y^5 + x^3y^6 + x^2y^7 + xy^8 + y^9$.

3) Сократите дробь $\frac{x^{2^{10}} - y^{2^{10}}}{x-y}$

Эта задача является прямым применением закономерности, рассмотренной в пункте 1), для показателя степени $n = 2^{10}$.

Используя тот же метод разложения на множители через разность квадратов, мы можем представить числитель в виде:

$x^{2^{10}} - y^{2^{10}} = (x^{2^9} - y^{2^9})(x^{2^9} + y^{2^9})$

Продолжая этот процесс, мы в конечном итоге получим произведение, которое содержит множитель $(x-y)$:

$x^{2^{10}} - y^{2^{10}} = (x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)\cdot \dots \cdot (x^{2^9}+y^{2^9})$

Теперь мы можем сократить исходную дробь:

$\frac{x^{2^{10}} - y^{2^{10}}}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)\cdot \dots \cdot (x^{2^9}+y^{2^9})}{x-y}$

При $x \neq y$ это выражение равно:

$(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)\cdot \dots \cdot (x^{2^9}+y^{2^9})$

Последний множитель в этом произведении равен $(x^{512}+y^{512})$, так как $2^9=512$.

Ответ: $(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)\cdot \dots \cdot (x^{512}+y^{512})$.