Номер 895, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 895, страница 242.

895 a) $(a - x)(x^2 - y^2) - (x - y)(a^2 - x^2)$;

б) $(a - x)(x^3 - y^3) - (x - y)(a^3 - x^3)$.

а) Упростим выражение $(a-x)(x^2-y^2) - (x-y)(a^2-x^2)$.
Для этого разложим на множители выражения в скобках, используя формулу разности квадратов $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$.
$x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$
$a^2-x^2 = (a-x)(a+x)$
Подставим полученные разложения в исходное выражение:
$(a-x)(x-y)(x+y) - (x-y)(a-x)(a+x)$
Теперь мы видим общий множитель $(a-x)(x-y)$, который можно вынести за скобки:
$(a-x)(x-y) \cdot [(x+y) - (a+x)]$
Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:
$(a-x)(x-y) \cdot (x+y-a-x) = (a-x)(x-y)(y-a)$
Ответ: $(a-x)(x-y)(y-a)$.

б) Упростим выражение $(a-x)(x^3-y^3) - (x-y)(a^3-x^3)$.
Для этого разложим на множители выражения в скобках, используя формулу разности кубов $m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)$.
$x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$
$a^3-x^3 = (a-x)(a^2+ax+x^2)$
Подставим полученные разложения в исходное выражение:
$(a-x)(x-y)(x^2+xy+y^2) - (x-y)(a-x)(a^2+ax+x^2)$
Вынесем общий множитель $(a-x)(x-y)$ за скобки:
$(a-x)(x-y) \cdot [(x^2+xy+y^2) - (a^2+ax+x^2)]$
Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:
$(a-x)(x-y) \cdot (x^2+xy+y^2-a^2-ax-x^2) = (a-x)(x-y)(xy+y^2-a^2-ax)$
Сгруппируем слагаемые в последней скобке и разложим на множители:
$xy+y^2-a^2-ax = (y^2-a^2) + (xy-ax) = (y-a)(y+a) + x(y-a) = (y-a)(y+a+x)$
Подставим это разложение обратно в выражение:
$(a-x)(x-y)(y-a)(a+x+y)$
Ответ: $(a-x)(x-y)(y-a)(a+x+y)$.