Номер 897, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 897, страница 243.

897 Разложите выражение на множители двумя способами:

1) применив формулу разности квадратов;

2) раскрыв скобки и затем применив группировку:

а) $(1 + ab)^2 - (a + b)^2$;

б) $(a + 2x)^2 - (2 + ax)^2$.

а) $(1 + ab)^2 - (a + b)^2$

1) Применив формулу разности квадратов:

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = 1 + ab$ и $y = a + b$.

$(1 + ab)^2 - (a + b)^2 = ((1 + ab) - (a + b))((1 + ab) + (a + b))$

Раскроем внутренние скобки:

$= (1 + ab - a - b)(1 + ab + a + b)$

Теперь сгруппируем слагаемые в каждой из полученных скобок и вынесем общие множители за скобки.

В первой скобке: $1 + ab - a - b = (1 - a) - (b - ab) = (1 - a) - b(1 - a) = (1 - a)(1 - b)$.

Во второй скобке: $1 + ab + a + b = (1 + a) + (b + ab) = (1 + a) + b(1 + a) = (1 + a)(1 + b)$.

Подставим полученные выражения обратно:

$(1 - a)(1 - b)(1 + a)(1 + b)$

2) Раскрыв скобки и затем применив группировку:

Сначала раскроем каждый квадрат суммы по формуле $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(1 + ab)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot ab + (ab)^2 = 1 + 2ab + a^2b^2$

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(1 + 2ab + a^2b^2) - (a^2 + 2ab + b^2) = 1 + 2ab + a^2b^2 - a^2 - 2ab - b^2$

Сократим подобные члены ($2ab$ и $-2ab$):

$= 1 + a^2b^2 - a^2 - b^2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель:

$= (1 - a^2) + (a^2b^2 - b^2) = (1 - a^2) - (b^2 - a^2b^2) = (1 - a^2) - b^2(1 - a^2) = (1 - a^2)(1 - b^2)$

Каждый из множителей также является разностью квадратов, разложим их:

$= (1 - a)(1 + a)(1 - b)(1 + b)$

Ответ: $(1 - a)(1 + a)(1 - b)(1 + b)$

б) $(a + 2x)^2 - (2 + ax)^2$

1) Применив формулу разности квадратов:

Используем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a + 2x$ и $y = 2 + ax$.

$(a + 2x)^2 - (2 + ax)^2 = ((a + 2x) - (2 + ax))((a + 2x) + (2 + ax))$

Раскроем внутренние скобки:

$= (a + 2x - 2 - ax)(a + 2x + 2 + ax)$

Сгруппируем слагаемые в каждой из полученных скобок.

В первой скобке: $a + 2x - 2 - ax = (a - ax) + (2x - 2) = a(1 - x) - 2(1 - x) = (a - 2)(1 - x)$.

Во второй скобке: $a + 2x + 2 + ax = (a + ax) + (2 + 2x) = a(1 + x) + 2(1 + x) = (a + 2)(1 + x)$.

Подставим полученные выражения обратно:

$(a - 2)(1 - x)(a + 2)(1 + x)$

2) Раскрыв скобки и затем применив группировку:

Раскроем каждый квадрат суммы:

$(a + 2x)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2x + (2x)^2 = a^2 + 4ax + 4x^2$

$(2 + ax)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot ax + (ax)^2 = 4 + 4ax + a^2x^2$

Вычтем второе выражение из первого:

$(a^2 + 4ax + 4x^2) - (4 + 4ax + a^2x^2) = a^2 + 4ax + 4x^2 - 4 - 4ax - a^2x^2$

Сократим подобные члены ($4ax$ и $-4ax$):

$= a^2 + 4x^2 - 4 - a^2x^2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель:

$= (a^2 - a^2x^2) - (4 - 4x^2) = a^2(1 - x^2) - 4(1 - x^2) = (a^2 - 4)(1 - x^2)$

Разложим каждый из множителей как разность квадратов:

$= (a - 2)(a + 2)(1 - x)(1 + x)$

Ответ: $(a - 2)(a + 2)(1 - x)(1 + x)$