Номер 898, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 898, страница 243.

898 ДОКАЗЫВАЕМ

Докажите, что разность между кубом любого натурального числа и этим числом делится на 6.

Пусть $n$ — любое натуральное число. Необходимо доказать, что разность между его кубом и самим числом, то есть выражение $n^3 - n$, делится на 6.

1. Преобразование выражения

Разложим выражение $n^3 - n$ на множители. Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n^3 - n = n(n^2 - 1)$

Далее, применим к выражению в скобках формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$

Если расположить множители в порядке возрастания, получим произведение трех последовательных целых чисел:

$(n-1)n(n+1)$

2. Доказательство делимости

Чтобы доказать, что число делится на 6, необходимо и достаточно доказать, что оно делится на 2 и на 3, так как $6 = 2 \cdot 3$, а числа 2 и 3 — взаимно простые.

Делимость на 2.

Среди двух последовательных чисел одно всегда является четным. В произведении трех последовательных чисел $(n-1)n(n+1)$ обязательно есть как минимум одно четное число (либо $n$, либо $n-1$ и $n+1$). Следовательно, произведение $(n-1)n(n+1)$ всегда делится на 2.

Делимость на 3.

Среди любых трех последовательных чисел ровно одно делится на 3. В нашем произведении $(n-1)n(n+1)$ один из множителей обязательно будет кратен 3. Следовательно, все произведение делится на 3.

3. Заключение

Поскольку выражение $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$ делится и на 2, и на 3, оно также делится на их произведение, то есть на 6. Утверждение доказано.

Ответ: Разность между кубом любого натурального числа и этим числом равна $n^3 - n$. Это выражение можно разложить на множители: $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$. Это произведение трех последовательных натуральных чисел. Среди трех последовательных чисел всегда есть хотя бы одно четное число (т.е. кратное 2) и ровно одно число, кратное 3. Так как 2 и 3 взаимно просты, то их произведение делится на $2 \cdot 3 = 6$. Что и требовалось доказать.