Номер 896, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 896, страница 242.

896 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Трёхчлен $x^2 - 6x + 8$ можно разложить на множители, выделив квадрат двучлена:

$x^2 - 6x + 8 = x^2 - 6x + 8 + 1 - 1 = (x^2 - 6x + 9) - 1 = (x - 3)^2 - 1 = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2).$

Разложите на множители трёхчлен:

а) $a^2 + 4a - 5;$

б) $x^2 - 2x - 24;$

в) $a^2 + 8a + 15.$

а) $a^2 + 4a - 5$

Для разложения трёхчлена на множители воспользуемся методом выделения полного квадрата. Первые два слагаемых $a^2 + 4a$ являются частью формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x=a$, а $2xy = 4a$, откуда $y = \frac{4a}{2a} = 2$. Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает слагаемого $y^2 = 2^2 = 4$.

Прибавим и вычтем 4 в исходном выражении, чтобы не изменить его значение, а затем сгруппируем слагаемые:

$a^2 + 4a - 5 = (a^2 + 4a + 4) - 4 - 5 = (a+2)^2 - 9$

Теперь мы получили разность квадратов, так как $9 = 3^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(a+2)^2 - 3^2 = ((a+2) - 3)((a+2) + 3) = (a - 1)(a + 5)$

Ответ: $(a - 1)(a + 5)$

б) $x^2 - 2x - 24$

Выделим полный квадрат в выражении $x^2 - 2x$. Это часть формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=x$, $-2ab = -2x$, откуда $b = 1$. Недостающее слагаемое — $b^2 = 1^2 = 1$.

Прибавим и вычтем 1 в исходном выражении:

$x^2 - 2x - 24 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 24 = (x-1)^2 - 25$

Мы получили разность квадратов, так как $25 = 5^2$. Применим соответствующую формулу:

$(x-1)^2 - 5^2 = ((x-1) - 5)((x-1) + 5) = (x - 6)(x + 4)$

Ответ: $(x - 6)(x + 4)$

в) $a^2 + 8a + 15$

Выделим полный квадрат в выражении $a^2 + 8a$. Это часть формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Здесь $x=a$, $2xy = 8a$, откуда $y = 4$. Недостающее слагаемое — $y^2 = 4^2 = 16$.

Прибавим и вычтем 16 в исходном выражении:

$a^2 + 8a + 15 = (a^2 + 8a + 16) - 16 + 15 = (a+4)^2 - 1$

Мы получили разность квадратов, так как $1 = 1^2$. Применим формулу разности квадратов:

$(a+4)^2 - 1^2 = ((a+4) - 1)((a+4) + 1) = (a + 3)(a + 5)$

Ответ: $(a + 3)(a + 5)$