Номер 894, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 894, страница 242.

894 a) $x^2(x - 3) + 10x(x - 3) + 25(x - 3);$

б) $4c^2(c + 2) + 9(c + 2) - 12c(c + 2);$

в) $a^2 - 25 - 2a(a^2 - 25) + a^2(a^2 - 25);$

г) $6x(y^2 - 1) + 9x^2(y^2 - 1) - 1 + y^2.$

а)

Данное выражение: $x^2(x - 3) + 10x(x - 3) + 25(x - 3)$.

Мы видим, что у всех трех слагаемых есть общий множитель $(x - 3)$. Вынесем его за скобки:

$(x - 3)(x^2 + 10x + 25)$

Теперь рассмотрим выражение во второй скобке: $x^2 + 10x + 25$. Это выражение является полным квадратом суммы, который можно разложить по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x$, а $b^2 = 25$, значит $b = 5$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 5 = 10x$. Он совпадает со средним членом в нашем выражении.

Таким образом, $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$.

Подставляя это обратно, мы получаем окончательное разложение на множители:

$(x - 3)(x + 5)^2$

Ответ: $(x - 3)(x + 5)^2$

б)

Данное выражение: $4c^2(c + 2) + 9(c + 2) - 12c(c + 2)$.

Общий множитель для всех слагаемых — $(c + 2)$. Вынесем его за скобки:

$(c + 2)(4c^2 + 9 - 12c)$

Переставим члены во второй скобке, чтобы привести их к стандартному виду: $(c + 2)(4c^2 - 12c + 9)$.

Выражение $4c^2 - 12c + 9$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a^2 = 4c^2$, значит $a = 2c$. А $b^2 = 9$, значит $b = 3$. Проверим средний член: $-2ab = -2 \cdot (2c) \cdot 3 = -12c$. Он совпадает.

Следовательно, $4c^2 - 12c + 9 = (2c - 3)^2$.

Итоговое разложение на множители:

$(c + 2)(2c - 3)^2$

Ответ: $(c + 2)(2c - 3)^2$

в)

Данное выражение: $a^2 - 25 - 2a(a^2 - 25) + a^2(a^2 - 25)$.

Заметим, что $(a^2 - 25)$ является общим множителем. Мы можем представить первый член $a^2 - 25$ как $1 \cdot (a^2 - 25)$:

$1 \cdot (a^2 - 25) - 2a(a^2 - 25) + a^2(a^2 - 25)$

Вынесем общий множитель $(a^2 - 25)$ за скобки:

$(a^2 - 25)(1 - 2a + a^2)$

Теперь разложим каждый из множителей в скобках.

Первый множитель $(a^2 - 25)$ — это разность квадратов, которая раскладывается по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

$a^2 - 25 = a^2 - 5^2 = (a - 5)(a + 5)$

Второй множитель $(1 - 2a + a^2)$ можно переписать как $(a^2 - 2a + 1)$. Это полный квадрат разности, соответствующий формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$

Объединяя все полученные множители, получаем:

$(a - 5)(a + 5)(a - 1)^2$

Ответ: $(a - 5)(a + 5)(a - 1)^2$

г)

Данное выражение: $6x(y^2 - 1) + 9x^2(y^2 - 1) - 1 + y^2$.

Сначала сгруппируем последние два члена: $-1 + y^2$ можно записать как $(y^2 - 1)$. Тогда выражение принимает вид:

$6x(y^2 - 1) + 9x^2(y^2 - 1) + 1 \cdot (y^2 - 1)$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(y^2 - 1)$ за скобки:

$(y^2 - 1)(6x + 9x^2 + 1)$

Разложим на множители оба выражения в скобках.

Первый множитель $(y^2 - 1)$ — это разность квадратов:

$y^2 - 1 = y^2 - 1^2 = (y - 1)(y + 1)$

Второй множитель $(6x + 9x^2 + 1)$ приведем к стандартному виду: $(9x^2 + 6x + 1)$. Это полный квадрат суммы, который раскладывается по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a^2 = 9x^2$, значит $a = 3x$. А $b^2 = 1$, значит $b = 1$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (3x) \cdot 1 = 6x$. Он совпадает.

Следовательно, $9x^2 + 6x + 1 = (3x + 1)^2$.

Собираем все множители вместе:

$(y - 1)(y + 1)(3x + 1)^2$

Ответ: $(y - 1)(y + 1)(3x + 1)^2$