Номер 893, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 893, страница 242.

893 a) $ax + ay - x^2 - 2xy - y^2;$

б) $a^2 - 2ab + b^2 - a + b;$

в) $a^2 - b^2 - c^2 + 2bc;$

г) $9a^4 + 6a^2c + c^2 - 9;$

д) $ma^2 - m^3 - 2m^2 - m;$

е) $4x^5 + 4x^3y + xy^2 - 4x.$

а) $ax + ay - x^2 - 2xy - y^2$

Сгруппируем слагаемые. Первые два слагаемых имеют общий множитель $a$. Последние три слагаемых, если вынести за скобку $-1$, образуют полный квадрат суммы.

$ax + ay - (x^2 + 2xy + y^2)$

Вынесем общий множитель $a$ в первой группе и применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ ко второй группе:

$a(x + y) - (x + y)^2$

Теперь у нас есть общий множитель $(x + y)$, который можно вынести за скобку:

$(x + y)(a - (x + y))$

Раскроем внутренние скобки:

$(x + y)(a - x - y)$

Ответ: $(x + y)(a - x - y)$

б) $a^2 - 2ab + b^2 - a + b$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые представляют собой формулу квадрата разности. Вторую группу образуют последние два слагаемых.

$(a^2 - 2ab + b^2) - (a - b)$

Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ к первой группе:

$(a - b)^2 - (a - b)$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобку:

$(a - b)((a - b) - 1)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(a - b)(a - b - 1)$

Ответ: $(a - b)(a - b - 1)$

в) $a^2 - b^2 - c^2 + 2bc$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить формулу полного квадрата. Вынесем $-1$ за скобки у слагаемых, содержащих $b$ и $c$.

$a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)$

Выражение в скобках является квадратом разности $(b-c)^2 = b^2 - 2bc + c^2$:

$a^2 - (b - c)^2$

Теперь мы получили разность квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a$ и $y=(b-c)$:

$(a - (b - c))(a + (b - c))$

Раскроем внутренние скобки:

$(a - b + c)(a + b - c)$

Ответ: $(a - b + c)(a + b - c)$

г) $9a^4 + 6a^2c + c^2 - 9$

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат суммы.

$(9a^4 + 6a^2c + c^2) - 9$

Заметим, что $9a^4 = (3a^2)^2$ и $c^2 = (c)^2$, а $6a^2c = 2 \cdot (3a^2) \cdot c$. Таким образом, выражение в скобках - это $(3a^2 + c)^2$:

$(3a^2 + c)^2 - 9$

Представим $9$ как $3^2$ и применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=(3a^2+c)$ и $y=3$:

$(3a^2 + c)^2 - 3^2 = ((3a^2 + c) - 3)((3a^2 + c) + 3)$

Упростим выражение:

$(3a^2 + c - 3)(3a^2 + c + 3)$

Ответ: $(3a^2 + c - 3)(3a^2 + c + 3)$

д) $ma^2 - m^3 - 2m^2 - m$

Сначала вынесем общий множитель $m$ за скобки:

$m(a^2 - m^2 - 2m - 1)$

Теперь сгруппируем слагаемые внутри скобки, вынеся $-1$ за скобки у последних трех слагаемых:

$m(a^2 - (m^2 + 2m + 1))$

Выражение во внутренних скобках является квадратом суммы $(m+1)^2 = m^2 + 2m + 1$:

$m(a^2 - (m + 1)^2)$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a$ и $y=(m+1)$:

$m(a - (m + 1))(a + (m + 1))$

Раскроем внутренние скобки:

$m(a - m - 1)(a + m + 1)$

Ответ: $m(a - m - 1)(a + m + 1)$

е) $4x^5 + 4x^3y + xy^2 - 4x$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4x^4 + 4x^2y + y^2 - 4)$

Сгруппируем первые три слагаемых в скобках. Они образуют полный квадрат.

$x((4x^4 + 4x^2y + y^2) - 4)$

Заметим, что $4x^4 = (2x^2)^2$ и $y^2 = (y)^2$, а $4x^2y = 2 \cdot (2x^2) \cdot y$. Таким образом, выражение во внутренних скобках - это $(2x^2 + y)^2$:

$x((2x^2 + y)^2 - 4)$

Представим $4$ как $2^2$ и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=(2x^2+y)$ и $b=2$:

$x((2x^2 + y) - 2)((2x^2 + y) + 2)$

Упростим выражение:

$x(2x^2 + y - 2)(2x^2 + y + 2)$

Ответ: $x(2x^2 + y - 2)(2x^2 + y + 2)$