Номер 887, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 887, страница 242.

887 а) $a^4 - b^4;$

б) $x^4 - x^2;$

в) $n^4 - 16;$

г) $a^4 - 9a^2;$

д) $1 - c^4;$

е) $x^2 - 16x^4.$

а) Для разложения на множители выражения $a^4 - b^4$ воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Представим $a^4$ как $(a^2)^2$ и $b^4$ как $(b^2)^2$.

$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.

Выражение $a^2 - b^2$ также является разностью квадратов, поэтому его можно разложить дальше: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Выражение $a^2 + b^2$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Таким образом, окончательное разложение имеет вид:

$a^4 - b^4 = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.

Ответ: $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.

б) В выражении $x^4 - x^2$ вынесем общий множитель $x^2$ за скобки.

$x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1)$.

Выражение в скобках $x^2 - 1$ является разностью квадратов, так как $1 = 1^2$. Применим формулу разности квадратов:

$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x-1)(x+1)$.

Подставляем полученное разложение в исходное выражение:

$x^4 - x^2 = x^2(x-1)(x+1)$.

Ответ: $x^2(x-1)(x+1)$.

в) Для разложения выражения $n^4 - 16$ представим его в виде разности квадратов.

$n^4 = (n^2)^2$ и $16 = 4^2$.

$n^4 - 16 = (n^2)^2 - 4^2 = (n^2 - 4)(n^2 + 4)$.

Первый множитель $n^2 - 4$ также является разностью квадратов, так как $4 = 2^2$. Разложим его:

$n^2 - 4 = n^2 - 2^2 = (n-2)(n+2)$.

Второй множитель $n^2 + 4$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Собираем все множители вместе:

$n^4 - 16 = (n-2)(n+2)(n^2+4)$.

Ответ: $(n-2)(n+2)(n^2+4)$.

г) В выражении $a^4 - 9a^2$ вынесем общий множитель $a^2$ за скобки.

$a^4 - 9a^2 = a^2(a^2 - 9)$.

Выражение в скобках $a^2 - 9$ является разностью квадратов, так как $9 = 3^2$. Применим формулу:

$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a-3)(a+3)$.

Подставим разложение в исходное выражение:

$a^4 - 9a^2 = a^2(a-3)(a+3)$.

Ответ: $a^2(a-3)(a+3)$.

д) Для разложения выражения $1 - c^4$ воспользуемся формулой разности квадратов.

Представим $1$ как $1^2$ и $c^4$ как $(c^2)^2$.

$1 - c^4 = 1^2 - (c^2)^2 = (1 - c^2)(1 + c^2)$.

Множитель $1 - c^2$ также является разностью квадратов: $1^2 - c^2 = (1-c)(1+c)$.

Множитель $1 + c^2$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Таким образом, окончательное разложение:

$1 - c^4 = (1-c)(1+c)(1+c^2)$.

Ответ: $(1-c)(1+c)(1+c^2)$.

е) В выражении $x^2 - 16x^4$ сначала вынесем общий множитель $x^2$ за скобки.

$x^2 - 16x^4 = x^2(1 - 16x^2)$.

Выражение в скобках $1 - 16x^2$ является разностью квадратов. Представим $1$ как $1^2$ и $16x^2$ как $(4x)^2$.

$1 - 16x^2 = 1^2 - (4x)^2 = (1 - 4x)(1 + 4x)$.

Подставляем разложение в исходное выражение:

$x^2 - 16x^4 = x^2(1 - 4x)(1 + 4x)$.

Ответ: $x^2(1 - 4x)(1 + 4x)$.