Номер 882, страница 239 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.4. Формулы разности и суммы кубов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 882, страница 239.

882 Выполните умножение:

а) $(m + 1)((m^2 - m + 1) + 3);$

б) $(x + 1)(x^2 - x + 7);$

в) $(a + b)(a^2 - 3ab + b^2);$

г) $(p - q)(p^2 + 3pq + q^2).$

Подсказка. Преобразуйте второй многочлен так, чтобы можно было применить формулу разности или суммы кубов. Например, так:

$(c - 1)(c^2 + c + 3) = (c - 1)((c^2 + c + 1) + 2) = (c^3 - 1) + 2(c - 1) = c^3 - 1 + 2c - 2 = c^3 + 2c - 3.$

а) Для решения используем подсказку и преобразуем второй многочлен, чтобы применить формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. В данном случае $a=m$ и $b=1$, поэтому формула выглядит так: $m^3 + 1^3 = (m+1)(m^2 - m + 1)$.
Исходное выражение: $(m+1)(m^2 - m + 1 + 3)$.
Представим второй множитель в виде суммы: $(m+1)((m^2 - m + 1) + 3)$.
Теперь раскроем скобки, умножая $(m+1)$ на каждое слагаемое во второй скобке: $(m+1)(m^2 - m + 1) + 3(m+1)$.
Применяем формулу суммы кубов к первому произведению: $(m^3 + 1) + 3(m+1)$.
Раскрываем оставшиеся скобки и приводим подобные слагаемые: $m^3 + 1 + 3m + 3 = m^3 + 3m + 4$.
Ответ: $m^3 + 3m + 4$.

б) Решаем аналогично предыдущему пункту, применяя формулу суммы кубов для $x$ и $1$: $x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x + 1)$.
Исходное выражение: $(x+1)(x^2 - x + 7)$.
Преобразуем второй многочлен: $(x+1)((x^2 - x + 1) + 6)$.
Раскроем скобки: $(x+1)(x^2 - x + 1) + 6(x+1)$.
Применим формулу суммы кубов: $(x^3 + 1) + 6(x+1)$.
Раскроем скобки и упростим выражение: $x^3 + 1 + 6x + 6 = x^3 + 6x + 7$.
Ответ: $x^3 + 6x + 7$.

в) В этом примере также используется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Исходное выражение: $(a+b)(a^2 - 3ab + b^2)$.
Чтобы применить формулу, преобразуем второй многочлен, выделив в нем неполный квадрат разности: $a^2 - 3ab + b^2 = (a^2 - ab + b^2) - 2ab$.
Подставим это в исходное выражение: $(a+b)((a^2 - ab + b^2) - 2ab)$.
Раскроем скобки: $(a+b)(a^2 - ab + b^2) - 2ab(a+b)$.
Применим формулу суммы кубов к первому произведению: $(a^3 + b^3) - 2ab(a+b)$.
Раскроем оставшиеся скобки: $a^3 + b^3 - 2a^2b - 2ab^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде: $a^3 - 2a^2b - 2ab^2 + b^3$.
Ответ: $a^3 - 2a^2b - 2ab^2 + b^3$.

г) Здесь необходимо использовать формулу разности кубов: $p^3 - q^3 = (p-q)(p^2 + pq + q^2)$.
Исходное выражение: $(p-q)(p^2 + 3pq + q^2)$.
Преобразуем второй многочлен, выделив в нем неполный квадрат суммы: $p^2 + 3pq + q^2 = (p^2 + pq + q^2) + 2pq$.
Подставим преобразованное выражение: $(p-q)((p^2 + pq + q^2) + 2pq)$.
Раскроем скобки: $(p-q)(p^2 + pq + q^2) + 2pq(p-q)$.
Применим формулу разности кубов: $(p^3 - q^3) + 2pq(p-q)$.
Раскроем оставшиеся скобки: $p^3 - q^3 + 2p^2q - 2pq^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде: $p^3 + 2p^2q - 2pq^2 - q^3$.
Ответ: $p^3 + 2p^2q - 2pq^2 - q^3$.