Номер 875, страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.4. Формулы разности и суммы кубов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 875, страница 238.

875 Примените для разложения на множители, если это возможно, формулу суммы или разности кубов:

а) $8x^3 + y^3$;

б) $9a^3 + b^3$;

в) $1 - 27a^3$;

г) $8m^3 - 64n^3$;

д) $x^6 - \frac{1}{8}z^2$;

е) $\frac{1}{8}t^3 + 8s^3$.

Для разложения выражений на множители будем использовать формулы суммы и разности кубов:

• Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
• Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

а) $8x^3 + y^3$

Это выражение представляет собой сумму кубов. Представим каждый член в виде куба:

$8x^3 = (2x)^3$

$y^3 = (y)^3$

Применим формулу суммы кубов, где $a = 2x$ и $b = y$:

$(2x)^3 + y^3 = (2x + y)((2x)^2 - (2x)(y) + y^2) = (2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)$.

Ответ: $(2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)$.

б) $9a^3 + b^3$

Чтобы применить формулу суммы кубов, необходимо, чтобы оба слагаемых являлись точными кубами. Слагаемое $b^3$ является кубом переменной $b$. Однако коэффициент $9$ в слагаемом $9a^3$ не является кубом целого или рационального числа ($2^3=8$, $3^3=27$). Следовательно, разложить это выражение на множители с помощью формулы суммы кубов (в рамках рациональных чисел) невозможно.

Ответ: Разложить на множители по формуле суммы кубов невозможно.

в) $1 - 27a^3$

Это выражение является разностью кубов. Представим каждый член в виде куба:

$1 = 1^3$

$27a^3 = (3a)^3$

Применим формулу разности кубов, где $a = 1$ и $b = 3a$:

$1^3 - (3a)^3 = (1 - 3a)(1^2 + (1)(3a) + (3a)^2) = (1 - 3a)(1 + 3a + 9a^2)$.

Ответ: $(1 - 3a)(1 + 3a + 9a^2)$.

г) $8m^3 - 64n^3$

Сначала вынесем за скобки общий множитель $8$:

$8m^3 - 64n^3 = 8(m^3 - 8n^3)$

Теперь выражение в скобках $m^3 - 8n^3$ является разностью кубов. Представим его члены в виде кубов:

$m^3 = (m)^3$

$8n^3 = (2n)^3$

Применим формулу разности кубов для выражения в скобках, где $a = m$ и $b = 2n$:

$m^3 - (2n)^3 = (m - 2n)(m^2 + m(2n) + (2n)^2) = (m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2)$.

Подставим результат обратно в исходное выражение:

$8(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2)$.

Ответ: $8(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2)$.

д) $x^6 - \frac{1}{8}z^2$

Для применения формулы разности кубов $a^3 - b^3$ необходимо, чтобы оба члена выражения являлись точными кубами. Первый член $x^6$ можно представить как куб: $x^6 = (x^2)^3$. Однако второй член $\frac{1}{8}z^2$ не является кубом, так как степень переменной $z$ равна $2$, а число $2$ не делится нацело на $3$. Поэтому разложить данное выражение на множители по формуле разности кубов невозможно.

Ответ: Разложить на множители по формуле разности кубов невозможно.

е) $\frac{1}{8}t^3 + 8s^3$

Это выражение является суммой кубов. Представим каждый член в виде куба:

$\frac{1}{8}t^3 = (\frac{1}{2}t)^3$

$8s^3 = (2s)^3$

Применим формулу суммы кубов, где $a = \frac{1}{2}t$ и $b = 2s$:

$(\frac{1}{2}t)^3 + (2s)^3 = (\frac{1}{2}t + 2s)((\frac{1}{2}t)^2 - (\frac{1}{2}t)(2s) + (2s)^2) = (\frac{1}{2}t + 2s)(\frac{1}{4}t^2 - ts + 4s^2)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}t + 2s)(\frac{1}{4}t^2 - ts + 4s^2)$.