Номер 871, страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.4. Формулы разности и суммы кубов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 871, страница 238.

871 Выполните умножение по правилу умножения многочленов:

а) $(x+1)(x^2 - x + 1);$

б) $(a-c)(a^2 + ac + c^2).$

а) Для того чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить. Умножим многочлен $(x+1)$ на многочлен $(x^2 - x + 1)$.

$(x+1)(x^2 - x + 1) = x \cdot (x^2 - x + 1) + 1 \cdot (x^2 - x + 1)$

Раскроем скобки, умножая $x$ на каждый член второго многочлена, а затем $1$ на каждый член второго многочлена:

$x \cdot x^2 + x \cdot (-x) + x \cdot 1 + 1 \cdot x^2 + 1 \cdot (-x) + 1 \cdot 1 = x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-x^2 + x^2) + (x - x) + 1$

Сумма противоположных членов $-x^2$ и $x^2$ равна нулю, так же как и сумма $x$ и $-x$.

$x^3 + 0 + 0 + 1 = x^3 + 1$

Заметим, что это также формула сокращенного умножения "сумма кубов": $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$. Для $a=x$ и $b=1$ получаем $x^3+1^3 = x^3+1$.

Ответ: $x^3 + 1$.

б) Аналогично выполним умножение для выражения $(a-c)(a^2 + ac + c^2)$.

$(a-c)(a^2 + ac + c^2) = a \cdot (a^2 + ac + c^2) - c \cdot (a^2 + ac + c^2)$

Раскроем скобки:

$a \cdot a^2 + a \cdot (ac) + a \cdot c^2 - c \cdot a^2 - c \cdot (ac) - c \cdot c^2 = a^3 + a^2c + ac^2 - a^2c - ac^2 - c^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (a^2c - a^2c) + (ac^2 - ac^2) - c^3$

Члены $a^2c$ и $-a^2c$ взаимно уничтожаются, как и члены $ac^2$ и $-ac^2$.

$a^3 + 0 + 0 - c^3 = a^3 - c^3$

Это известная формула сокращенного умножения "разность кубов": $(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. В нашем случае переменные в формуле совпадают с переменными в задании, что сразу дает результат $a^3 - c^3$.

Ответ: $a^3 - c^3$.