Номер 876, страница 239 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.4. Формулы разности и суммы кубов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 876, страница 239.

876 РАССУЖДАЕМ

Составьте выражения, которые можно разложить на множители с помощью формулы суммы кубов или разности кубов, и выполните эти преобразования.

Задача состоит в том, чтобы составить выражения, которые являются суммой или разностью кубов, и затем разложить их на множители. Для этого используются следующие формулы сокращенного умножения:

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Приведем несколько примеров.

а) Составим выражение, которое можно разложить по формуле суммы кубов: $x^3 + 64$.

В этом выражении первое слагаемое – это куб переменной $x$, а второе – куб числа 4, так как $64 = 4^3$. Таким образом, мы имеем выражение вида $x^3 + 4^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a=x$ и $b=4$:

$x^3 + 4^3 = (x + 4)(x^2 - x \cdot 4 + 4^2) = (x + 4)(x^2 - 4x + 16)$.

Ответ: $(x + 4)(x^2 - 4x + 16)$.

б) Составим выражение, которое можно разложить по формуле разности кубов: $125p^3 - 1$.

Представим это выражение в виде разности кубов. Первое слагаемое – это $(5p)^3$, так как $125p^3 = 5^3 \cdot p^3 = (5p)^3$. Второе слагаемое – это $1^3$, так как $1=1^3$. Получаем $(5p)^3 - 1^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a=5p$ и $b=1$:

$(5p)^3 - 1^3 = (5p - 1)((5p)^2 + 5p \cdot 1 + 1^2) = (5p - 1)(25p^2 + 5p + 1)$.

Ответ: $(5p - 1)(25p^2 + 5p + 1)$.

в) Составим более сложное выражение для разложения по формуле суммы кубов: $27m^6 + 8n^9$.

Представим каждое слагаемое в виде куба. $27m^6 = 3^3 \cdot (m^2)^3 = (3m^2)^3$. Второе слагаемое: $8n^9 = 2^3 \cdot (n^3)^3 = (2n^3)^3$. Таким образом, выражение имеет вид $(3m^2)^3 + (2n^3)^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a=3m^2$ и $b=2n^3$:

$(3m^2)^3 + (2n^3)^3 = (3m^2 + 2n^3)((3m^2)^2 - (3m^2)(2n^3) + (2n^3)^2) = (3m^2 + 2n^3)(9m^4 - 6m^2n^3 + 4n^6)$.

Ответ: $(3m^2 + 2n^3)(9m^4 - 6m^2n^3 + 4n^6)$.

г) Составим выражение с составными частями для разложения по формуле разности кубов: $(x+y)^3 - 216$.

Здесь первое слагаемое уже является кубом выражения $(x+y)$. Второе слагаемое $216$ можно представить как $6^3$. Выражение принимает вид $(x+y)^3 - 6^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = x+y$ и $b=6$:

$(x+y)^3 - 6^3 = ((x+y) - 6)((x+y)^2 + (x+y) \cdot 6 + 6^2) = (x+y-6)(x^2 + 2xy + y^2 + 6x + 6y + 36)$.

Ответ: $(x+y-6)(x^2 + 2xy + y^2 + 6x + 6y + 36)$.