Номер 877, страница 239 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.4. Формулы разности и суммы кубов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 877, страница 239.

877 Упростите выражение:

а) $(a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a + b)(a^2 - ab + b^2);$

б) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - (x - 2)(x^2 + 2x + 4);$

в) $y(y - 1)(y + 1) - (y - 3)(y^2 + 3y + 9);$

г) $x(x + 3)^2 - (x + 2)(x^2 - 2x + 4) - 2(x - 2)(3x + 2).$

а) Для упрощения выражения $(a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и суммой кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$(a^3 - b^3) + (a^3 + b^3)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^3 - b^3 + a^3 + b^3 = (a^3 + a^3) + (-b^3 + b^3) = 2a^3$

Ответ: $2a^3$

б) В выражении $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ мы также видим формулы суммы и разности кубов.

Первая часть выражения, $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$, является формулой суммы кубов: $x^3 + 2^3 = x^3 + 8$.

Вторая часть, $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$, является формулой разности кубов: $x^3 - 2^3 = x^3 - 8$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(x^3 + 8) - (x^3 - 8)$

Раскроем скобки, меняя знаки во второй скобке на противоположные:

$x^3 + 8 - x^3 + 8 = (x^3 - x^3) + (8 + 8) = 16$

Ответ: $16$

в) Рассмотрим выражение $y(y - 1)(y + 1) - (y - 3)(y^2 + 3y + 9)$ и упростим его по частям.

Первая часть: $y(y - 1)(y + 1)$. Здесь $(y - 1)(y + 1)$ — это формула разности квадратов, равная $y^2 - 1$. Тогда $y(y^2 - 1) = y^3 - y$.

Вторая часть: $(y - 3)(y^2 + 3y + 9)$. Это формула разности кубов, равная $y^3 - 3^3 = y^3 - 27$.

Теперь объединим упрощенные части:

$(y^3 - y) - (y^3 - 27)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^3 - y - y^3 + 27 = (y^3 - y^3) - y + 27 = -y + 27$

Ответ: $27 - y$

г) Упростим выражение $x(x + 3)^2 - (x + 2)(x^2 - 2x + 4) - 2(x - 2)(3x + 2)$ по частям.

1. Упростим первое слагаемое $x(x + 3)^2$. Сначала возведем в квадрат по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

Теперь умножим на $x$:

$x(x^2 + 6x + 9) = x^3 + 6x^2 + 9x$

2. Упростим второе слагаемое $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$. Это формула суммы кубов:

$(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8$

3. Упростим третье слагаемое $2(x - 2)(3x + 2)$. Сначала раскроем скобки $(x - 2)(3x + 2)$:

$(x - 2)(3x + 2) = x \cdot 3x + x \cdot 2 - 2 \cdot 3x - 2 \cdot 2 = 3x^2 + 2x - 6x - 4 = 3x^2 - 4x - 4$

Теперь умножим на 2:

$2(3x^2 - 4x - 4) = 6x^2 - 8x - 8$

4. Подставим все упрощенные части в исходное выражение:

$(x^3 + 6x^2 + 9x) - (x^3 + 8) - (6x^2 - 8x - 8)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + 6x^2 + 9x - x^3 - 8 - 6x^2 + 8x + 8$

Группируем подобные члены: $(x^3 - x^3) + (6x^2 - 6x^2) + (9x + 8x) + (-8 + 8) = 0 + 0 + 17x + 0 = 17x$

Ответ: $17x$