Номер 872, страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.4. Формулы разности и суммы кубов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 872, страница 238.

872 Выполните умножение, используя формулу суммы кубов или разности кубов:

а) $(m - 1)(m^2 + m + 1);$

б) $(x + y)(x^2 - xy + y^2);$

в) $(2a + 2b)(4a^2 - 4ab + 4b^2);$

г) $(2 - y^2)(4 + 2y^2 + y^4).$

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения:

• Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
• Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

а)

В выражении $(m-1)(m^2 + m + 1)$ мы имеем дело с формулой разности кубов, где $a = m$ и $b = 1$.

Первый множитель $(m-1)$ соответствует $(a-b)$.

Второй множитель $(m^2 + m + 1)$ соответствует неполному квадрату суммы $(a^2 + ab + b^2)$:

• $a^2 = m^2$
• $ab = m \cdot 1 = m$
• $b^2 = 1^2 = 1$

Таким образом, выражение сворачивается в разность кубов $a^3$ и $b^3$.

$(m-1)(m^2 + m + 1) = m^3 - 1^3 = m^3 - 1$.

Ответ: $m^3 - 1$.

б)

В выражении $(x+y)(x^2 - xy + y^2)$ используется формула суммы кубов, где $a = x$ и $b = y$.

Первый множитель $(x+y)$ соответствует $(a+b)$.

Второй множитель $(x^2 - xy + y^2)$ соответствует неполному квадрату разности $(a^2 - ab + b^2)$:

• $a^2 = x^2$
• $ab = xy$
• $b^2 = y^2$

Таким образом, выражение сворачивается в сумму кубов $a^3$ и $b^3$.

$(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.

Ответ: $x^3 + y^3$.

в)

В выражении $(2a + 2b)(4a^2 - 4ab + 4b^2)$ мы можем применить формулу суммы кубов. Здесь $A = 2a$ и $B = 2b$.

Первый множитель $(2a+2b)$ соответствует $(A+B)$.

Второй множитель $(4a^2 - 4ab + 4b^2)$ соответствует неполному квадрату разности $(A^2 - AB + B^2)$:

• $A^2 = (2a)^2 = 4a^2$
• $AB = (2a)(2b) = 4ab$
• $B^2 = (2b)^2 = 4b^2$

Таким образом, выражение сворачивается в сумму кубов $A^3$ и $B^3$.

$(2a + 2b)(4a^2 - 4ab + 4b^2) = (2a)^3 + (2b)^3 = 8a^3 + 8b^3$.

Ответ: $8a^3 + 8b^3$.

г)

В выражении $(2 - y^2)(4 + 2y^2 + y^4)$ мы видим структуру формулы разности кубов, где $a = 2$ и $b = y^2$.

Первый множитель $(2 - y^2)$ соответствует $(a-b)$.

Второй множитель $(4 + 2y^2 + y^4)$ соответствует неполному квадрату суммы $(a^2 + ab + b^2)$:

• $a^2 = 2^2 = 4$
• $ab = 2 \cdot y^2 = 2y^2$
• $b^2 = (y^2)^2 = y^4$

Таким образом, выражение сворачивается в разность кубов $a^3$ и $b^3$.

$(2 - y^2)(4 + 2y^2 + y^4) = 2^3 - (y^2)^3 = 8 - y^6$.

Ответ: $8 - y^6$.