Номер 870, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.3. Формула разности квадратов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 870, страница 237.

870 a) $(a + b - c)(a + b + c);$

Б) $(x + y - z)(x - y + z);$

В) $(a^2 + 2a - 1)(a^2 - 2a + 1);$

Г) $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2).$

а) Для упрощения выражения $(a + b - c)(a + b + c)$, сгруппируем члены, чтобы применить формулу разности квадратов: $(X - Y)(X + Y) = X^2 - Y^2$. Перепишем выражение так: $((a + b) - c)((a + b) + c)$. Здесь в качестве $X$ выступает $(a+b)$, а в качестве $Y$ выступает $c$. Применяя формулу, получаем: $(a + b)^2 - c^2$. Теперь раскроем квадрат суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Подставив, получаем итоговое выражение: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$. Ответ: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$.

б) Для упрощения выражения $(x + y - z)(x - y + z)$, также воспользуемся формулой разности квадратов. Для этого необходимо правильно сгруппировать члены. Перепишем выражение, вынеся минус за скобки во втором множителе и сгруппировав члены в первом: $(x + (y - z))(x - (y - z))$. Здесь в качестве $X$ выступает $x$, а в качестве $Y$ выступает $(y - z)$. Применяя формулу разности квадратов, получаем: $x^2 - (y - z)^2$. Теперь раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. $(y - z)^2 = y^2 - 2yz + z^2$. Подставим и раскроем скобки: $x^2 - (y^2 - 2yz + z^2) = x^2 - y^2 + 2yz - z^2$. Ответ: $x^2 - y^2 + 2yz - z^2$.

в) Для упрощения выражения $(a^2 + 2a - 1)(a^2 - 2a + 1)$, сгруппируем члены для применения формулы разности квадратов. Перепишем множители следующим образом: $(a^2 + (2a - 1))(a^2 - (2a - 1))$. Обратите внимание, что $-(2a-1) = -2a+1$, что соответствует второму множителю. Здесь в качестве $X$ выступает $a^2$, а в качестве $Y$ выступает $(2a - 1)$. Применяя формулу, получаем: $(a^2)^2 - (2a - 1)^2$. Возводим в степень: $(a^2)^2 = a^4$. Раскрываем квадрат разности: $(2a - 1)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 - 4a + 1$. Подставляем и раскрываем скобки: $a^4 - (4a^2 - 4a + 1) = a^4 - 4a^2 + 4a - 1$. Ответ: $a^4 - 4a^2 + 4a - 1$.

г) Для упрощения выражения $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$, сгруппируем члены, чтобы использовать формулу разности квадратов. Переставим слагаемые в скобках: $((x^2 + 2) - 2x)((x^2 + 2) + 2x)$. Здесь в качестве $X$ выступает $(x^2 + 2)$, а в качестве $Y$ выступает $2x$. Применяем формулу разности квадратов: $(x^2 + 2)^2 - (2x)^2$. Раскроем квадрат суммы: $(x^2 + 2)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 2 + 2^2 = x^4 + 4x^2 + 4$. Возведем в квадрат второй член: $(2x)^2 = 4x^2$. Подставляем и упрощаем: $(x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = x^4 + 4$. Ответ: $x^4 + 4$.