Номер 864, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.3. Формула разности квадратов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 864, страница 236.

864 Разложите на множители:

a) $(a + b) + (a^2 - b^2)$;

б) $(x - y) + (x^2 - y^2)$;

в) $(b + c) - (b^2 - c^2)$;

г) $(2 - x) - (4 - x^2)$;

д) $(y - 1)^2 - (y^2 - 1)$;

е) $(a^2 - 4) + (a - 2)^2$.

а) В выражении $(a + b) + (a^2 - b^2)$ разложим второе слагаемое, $(a^2 - b^2)$, на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Получим: $(a + b) + (a - b)(a + b)$.
Теперь мы видим, что $(a + b)$ является общим множителем. Вынесем его за скобки:
$(a + b) \cdot (1 + (a - b))$.
Упростим выражение во вторых скобках:
$(a + b)(1 + a - b)$.
Ответ: $(a + b)(a - b + 1)$.

б) В выражении $(x - y) + (x^2 - y^2)$ применим формулу разности квадратов ко второму слагаемому: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Выражение примет вид: $(x - y) + (x - y)(x + y)$.
Общий множитель здесь — $(x - y)$. Вынесем его за скобки:
$(x - y) \cdot (1 + (x + y))$.
Упростим содержимое второй скобки:
$(x - y)(1 + x + y)$.
Ответ: $(x - y)(x + y + 1)$.

в) В выражении $(b + c) - (b^2 - c^2)$ разложим вычитаемое $(b^2 - c^2)$ по формуле разности квадратов: $b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$.
Получим: $(b + c) - (b - c)(b + c)$.
Вынесем общий множитель $(b + c)$ за скобки:
$(b + c) \cdot (1 - (b - c))$.
Раскроем скобки внутри второго множителя, учитывая знак минус:
$(b + c)(1 - b + c)$.
Ответ: $(b + c)(1 - b + c)$.

г) В выражении $(2 - x) - (4 - x^2)$ заметим, что $4 - x^2$ является разностью квадратов: $4 - x^2 = 2^2 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$.
Подставим это в исходное выражение: $(2 - x) - (2 - x)(2 + x)$.
Общий множитель $(2 - x)$ вынесем за скобки:
$(2 - x) \cdot (1 - (2 + x))$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(2 - x)(1 - 2 - x) = (2 - x)(-1 - x)$.
Для более стандартной записи можно вынести $-1$ из каждой скобки: $(-1)(x - 2) \cdot (-1)(x + 1) = (x - 2)(x + 1)$.
Ответ: $(x - 2)(x + 1)$.

д) В выражении $(y - 1)^2 - (y^2 - 1)$ разложим вычитаемое $(y^2 - 1)$ на множители: $y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$.
Выражение станет: $(y - 1)^2 - (y - 1)(y + 1)$.
Вынесем общий множитель $(y - 1)$ за скобки:
$(y - 1) \cdot ((y - 1) - (y + 1))$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(y - 1)(y - 1 - y - 1) = (y - 1)(-2)$.
Запишем в более привычном виде:
$-2(y - 1)$.
Ответ: $-2(y - 1)$.

е) В выражении $(a^2 - 4) + (a - 2)^2$ разложим первое слагаемое $(a^2 - 4)$ на множители: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$.
Получим: $(a - 2)(a + 2) + (a - 2)^2$.
Вынесем общий множитель $(a - 2)$ за скобки:
$(a - 2) \cdot ((a + 2) + (a - 2))$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(a - 2)(a + 2 + a - 2) = (a - 2)(2a)$.
Запишем в стандартном виде:
$2a(a - 2)$.
Ответ: $2a(a - 2)$.