Страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

858 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

Вычислите, используя формулу

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

а) 19 · 21;

б) 99 · 101;

в) 28 · 32;

г) $4\frac{1}{2} \cdot 5\frac{1}{2}.$

Образец.

$49 \cdot 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1 = 2500 - 1 = 2499.$

а) Чтобы вычислить произведение $19 \cdot 21$, представим множители в виде разности и суммы двух чисел, чтобы использовать формулу $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Для этого найдем их среднее арифметическое, которое будет числом $a$: $a = (19 + 21) / 2 = 40 / 2 = 20$. Затем найдем число $b$, которое нужно вычесть из $a$ и прибавить к $a$: $b = 20 - 19 = 1$ (или $b = 21 - 20 = 1$).

Таким образом, мы можем записать: $19 \cdot 21 = (20 - 1)(20 + 1)$.

Применяем формулу разности квадратов:

$(20 - 1)(20 + 1) = 20^2 - 1^2 = 400 - 1 = 399$.

Ответ: 399

б) Для вычисления произведения $99 \cdot 101$ поступим аналогично. Найдем среднее арифметическое, которое будет числом $a$: $a = (99 + 101) / 2 = 200 / 2 = 100$. Найдем число $b$: $b = 100 - 99 = 1$.

Представим произведение в виде: $99 \cdot 101 = (100 - 1)(100 + 1)$.

Используем формулу разности квадратов:

$(100 - 1)(100 + 1) = 100^2 - 1^2 = 10000 - 1 = 9999$.

Ответ: 9999

в) Для вычисления $28 \cdot 32$ найдем числа $a$ и $b$. Среднее арифметическое: $a = (28 + 32) / 2 = 60 / 2 = 30$. Число $b$: $b = 30 - 28 = 2$.

Следовательно, произведение можно записать как: $28 \cdot 32 = (30 - 2)(30 + 2)$.

Применяем формулу:

$(30 - 2)(30 + 2) = 30^2 - 2^2 = 900 - 4 = 896$.

Ответ: 896

г) Для вычисления $4\frac{1}{2} \cdot 5\frac{1}{2}$ найдем $a$ и $b$. Среднее арифметическое: $a = (4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{2}) / 2 = 10 / 2 = 5$. Число $b$: $b = 5 - 4\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, произведение можно представить в виде: $4\frac{1}{2} \cdot 5\frac{1}{2} = (5 - \frac{1}{2})(5 + \frac{1}{2})$.

Используем формулу разности квадратов:

$(5 - \frac{1}{2})(5 + \frac{1}{2}) = 5^2 - (\frac{1}{2})^2 = 25 - \frac{1}{4} = 24\frac{3}{4}$.

Ответ: $24\frac{3}{4}$

Представьте выражение в виде многочлена (859—861).

859 а) $2y^2 + (y - 2)(y + 2);$

б) $15 - (a + 3)(a - 3);$

в) $(2b - c)(2b + c) - 2c^2;$

г) $(1 - 3k)(1 + 3k) - k^2.$

а) Чтобы представить выражение $2y^2 + (y - 2)(y + 2)$ в виде многочлена, воспользуемся формулой разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ для произведения в скобках. В нашем случае $a = y$ и $b = 2$.

$(y - 2)(y + 2) = y^2 - 2^2 = y^2 - 4$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$2y^2 + (y^2 - 4) = 2y^2 + y^2 - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$(2 + 1)y^2 - 4 = 3y^2 - 4$

Ответ: $3y^2 - 4$.

б) Рассмотрим выражение $15 - (a + 3)(a - 3)$. Произведение $(a + 3)(a - 3)$ также является разностью квадратов. Здесь $a = a$ и $b = 3$.

$(a + 3)(a - 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$

Подставим это в исходное выражение:

$15 - (a^2 - 9)$

Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$15 - a^2 + 9$

Приведем подобные слагаемые:

$24 - a^2$

Ответ: $24 - a^2$.

в) В выражении $(2b - c)(2b + c) - 2c^2$ применим формулу разности квадратов к произведению $(2b - c)(2b + c)$. Здесь $a = 2b$ и $b = c$.

$(2b - c)(2b + c) = (2b)^2 - c^2 = 4b^2 - c^2$

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$(4b^2 - c^2) - 2c^2 = 4b^2 - c^2 - 2c^2$

Приведем подобные слагаемые:

$4b^2 - 3c^2$

Ответ: $4b^2 - 3c^2$.

г) В выражении $(1 - 3k)(1 + 3k) - k^2$ для произведения $(1 - 3k)(1 + 3k)$ используем формулу разности квадратов. Здесь $a = 1$ и $b = 3k$.

$(1 - 3k)(1 + 3k) = 1^2 - (3k)^2 = 1 - 9k^2$

Подставим это в исходное выражение:

$(1 - 9k^2) - k^2 = 1 - 9k^2 - k^2$

Приведем подобные слагаемые:

$1 - 10k^2$

Ответ: $1 - 10k^2$.

860 а) $(a - 1)(a + 1) + a(a - 2);$

б) $(2x - y)(y + 2x) + x(4 - 3x);$

в) $5c(c + 1) - (b - 3c)(b + 3c);$

г) $(y - 2)(y + 2) + (3 - y)(3 + y);$

д) $(a + b)(a - b) - (a - b)^2;$

е) $(2a + 1)^2 + (1 - 2a)(1 + 2a).$

а) $(a - 1)(a + 1) + a(a - 2)$

Для упрощения первого слагаемого $(a - 1)(a + 1)$ применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$

Для второго слагаемого $a(a - 2)$ раскроем скобки, умножив $a$ на каждый член внутри них.

$a(a - 2) = a \cdot a - a \cdot 2 = a^2 - 2a$

Теперь сложим полученные выражения:

$(a^2 - 1) + (a^2 - 2a) = a^2 - 1 + a^2 - 2a$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 + a^2 - 2a - 1 = 2a^2 - 2a - 1$

Ответ: $2a^2 - 2a - 1$

б) $(2x - y)(y + 2x) + x(4 - 3x)$

В первом произведении поменяем местами слагаемые во второй скобке, чтобы было удобнее применить формулу: $(2x - y)(y + 2x) = (2x - y)(2x + y)$. Это разность квадратов.

$(2x - y)(2x + y) = (2x)^2 - y^2 = 4x^2 - y^2$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$x(4 - 3x) = x \cdot 4 - x \cdot 3x = 4x - 3x^2$

Сложим полученные многочлены:

$(4x^2 - y^2) + (4x - 3x^2) = 4x^2 - y^2 + 4x - 3x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$4x^2 - 3x^2 + 4x - y^2 = x^2 + 4x - y^2$

Ответ: $x^2 + 4x - y^2$

в) $5c(c + 1) - (b - 3c)(b + 3c)$

Раскроем скобки в первом слагаемом:

$5c(c + 1) = 5c \cdot c + 5c \cdot 1 = 5c^2 + 5c$

Для выражения $(b - 3c)(b + 3c)$ применим формулу разности квадратов:

$(b - 3c)(b + 3c) = b^2 - (3c)^2 = b^2 - 9c^2$

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(5c^2 + 5c) - (b^2 - 9c^2) = 5c^2 + 5c - b^2 + 9c^2$

Приведем подобные слагаемые:

$5c^2 + 9c^2 + 5c - b^2 = 14c^2 + 5c - b^2$

Ответ: $14c^2 + 5c - b^2$

г) $(y - 2)(y + 2) + (3 - y)(3 + y)$

Это выражение является суммой двух произведений, каждое из которых является разностью квадратов.

$(y - 2)(y + 2) = y^2 - 2^2 = y^2 - 4$

$(3 - y)(3 + y) = 3^2 - y^2 = 9 - y^2$

Сложим полученные результаты:

$(y^2 - 4) + (9 - y^2) = y^2 - 4 + 9 - y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 - y^2 - 4 + 9 = 5$

Ответ: $5$

д) $(a + b)(a - b) - (a - b)^2$

Упростим первое слагаемое по формуле разности квадратов:

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Раскроем второе слагаемое по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Подставим полученные выражения в исходное. Обратим внимание на знак "минус" перед скобкой.

$(a^2 - b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 - b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - a^2 + 2ab - b^2 - b^2 = 2ab - 2b^2$

Ответ: $2ab - 2b^2$

е) $(2a + 1)^2 + (1 - 2a)(1 + 2a)$

Раскроем первое слагаемое по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(2a + 1)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 + 4a + 1$

Второе слагаемое раскроем по формуле разности квадратов:

$(1 - 2a)(1 + 2a) = 1^2 - (2a)^2 = 1 - 4a^2$

Сложим полученные выражения:

$(4a^2 + 4a + 1) + (1 - 4a^2) = 4a^2 + 4a + 1 + 1 - 4a^2$

Приведем подобные слагаемые:

$4a^2 - 4a^2 + 4a + 1 + 1 = 4a + 2$

Ответ: $4a + 2$

861 а) $a(a+1)(a-1)$;

б) $-2(x-2)(x+2)$;

в) $2b(c-b)(c+b)$;

г) $3a(1+b)(b-1).$

а) Чтобы упростить выражение $a(a + 1)(a - 1)$, мы сначала воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

Применим ее к произведению скобок $(a+1)(a-1)$:

$(a + 1)(a - 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$.

Теперь умножим полученное выражение на множитель $a$, стоящий перед скобками:

$a(a^2 - 1) = a \cdot a^2 - a \cdot 1 = a^3 - a$.

Ответ: $a^3 - a$

б) Упростим выражение $-2(x - 2)(x + 2)$. Снова используем формулу разности квадратов для произведения $(x - 2)(x + 2)$:

$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

Далее умножим результат на коэффициент $-2$:

$-2(x^2 - 4) = -2 \cdot x^2 - 2 \cdot (-4) = -2x^2 + 8$.

Для удобства записи можно поменять слагаемые местами.

Ответ: $8 - 2x^2$

в) В выражении $2b(c - b)(c + b)$ также применяется формула разности квадратов для скобок $(c - b)(c + b)$:

$(c - b)(c + b) = c^2 - b^2$.

Теперь умножим полученный двучлен на множитель $2b$, который стоит перед скобками:

$2b(c^2 - b^2) = 2b \cdot c^2 - 2b \cdot b^2 = 2bc^2 - 2b^3$.

Ответ: $2bc^2 - 2b^3$

г) Рассмотрим выражение $3a(1 + b)(b - 1)$. Чтобы использовать формулу разности квадратов, поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(1+b) = (b+1)$.

Выражение примет вид: $3a(b + 1)(b - 1)$.

Теперь применим формулу разности квадратов к $(b + 1)(b - 1)$:

$(b + 1)(b - 1) = b^2 - 1^2 = b^2 - 1$.

Наконец, умножим результат на $3a$:

$3a(b^2 - 1) = 3a \cdot b^2 - 3a \cdot 1 = 3ab^2 - 3a$.

Ответ: $3ab^2 - 3a$

862 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите:

a) $\frac{1-0,8^2}{0,6}$;

б) $\frac{1,4^2-0,5^2}{0,3^2}$;

в) $\frac{6,4}{4^2-0,8^2}$;

г) $\frac{0,3^2}{0,4^2-0,2^2}$;

д) $\frac{1,7^2-1,3^2}{2,8^2-2,2^2}$;

е) $\frac{1,2^2-0,3^2}{0,8^2-0,7^2}$.

а) Для вычисления числителя дроби $\frac{1-0,8^2}{0,6}$ применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, представив $1$ как $1^2$.
$1^2 - 0,8^2 = (1 - 0,8)(1 + 0,8) = 0,2 \cdot 1,8 = 0,36$.
Теперь подставим полученное значение в числитель и вычислим:
$\frac{0,36}{0,6} = 0,6$.
Ответ: 0,6.

б) В выражении $\frac{1,4^2-0,5^2}{0,3^2}$ раскроем числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$1,4^2 - 0,5^2 = (1,4 - 0,5)(1,4 + 0,5) = 0,9 \cdot 1,9 = 1,71$.
Вычислим значение знаменателя:
$0,3^2 = 0,09$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{1,71}{0,09} = \frac{171}{9} = 19$.
Ответ: 19.

в) Для вычисления знаменателя дроби $\frac{6,4}{4^2-0,8^2}$ применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$4^2 - 0,8^2 = (4 - 0,8)(4 + 0,8) = 3,2 \cdot 4,8$.
Подставим полученное выражение в знаменатель и выполним сокращение:
$\frac{6,4}{3,2 \cdot 4,8} = \frac{2}{4,8}$.
Упростим полученную дробь:
$\frac{2}{4,8} = \frac{20}{48} = \frac{5}{12}$.
Ответ: $\frac{5}{12}$.

г) В выражении $\frac{0,3^2}{0,4^2-0,2^2}$ раскроем знаменатель по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$0,4^2 - 0,2^2 = (0,4 - 0,2)(0,4 + 0,2) = 0,2 \cdot 0,6 = 0,12$.
Вычислим числитель:
$0,3^2 = 0,09$.
Теперь выполним деление:
$\frac{0,09}{0,12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0,75$.
Ответ: 0,75.

д) В выражении $\frac{1,7^2-1,3^2}{2,8^2-2,2^2}$ применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ как для числителя, так и для знаменателя.
Числитель: $1,7^2 - 1,3^2 = (1,7 - 1,3)(1,7 + 1,3) = 0,4 \cdot 3 = 1,2$.
Знаменатель: $2,8^2 - 2,2^2 = (2,8 - 2,2)(2,8 + 2,2) = 0,6 \cdot 5 = 3$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{1,2}{3} = 0,4$.
Ответ: 0,4.

е) В выражении $\frac{1,2^2-0,3^2}{0,8^2-0,7^2}$ применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ как для числителя, так и для знаменателя.
Числитель: $1,2^2 - 0,3^2 = (1,2 - 0,3)(1,2 + 0,3) = 0,9 \cdot 1,5$.
Знаменатель: $0,8^2 - 0,7^2 = (0,8 - 0,7)(0,8 + 0,7) = 0,1 \cdot 1,5$.
Подставим полученные выражения в дробь и сократим:
$\frac{0,9 \cdot 1,5}{0,1 \cdot 1,5} = \frac{0,9}{0,1} = 9$.
Ответ: 9.

863 Представьте в виде произведения:

a) $(k+m)^2 - n^2$;

б) $(p-n)^2 - 1$;

в) $(x-y)^2 - 1;

г) $(x+y)^2 - (x-y)^2;

д) $(x-1)^2 - (x+1)^2;

е) $(a-2b)^2 - (2a-b)^2.

Для решения всех пунктов используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) В выражении $(k + m)^2 - n^2$ в качестве $a$ выступает скобка $(k + m)$, а в качестве $b$ — переменная $n$.
Применяем формулу разности квадратов:
$(k + m)^2 - n^2 = ((k + m) - n)((k + m) + n)$.
Раскрываем внутренние скобки и получаем итоговое произведение:
$(k + m - n)(k + m + n)$.
Ответ: $(k + m - n)(k + m + n)$.

б) В выражении $(p - n)^2 - 1$ представим $1$ как $1^2$. Тогда $a = (p - n)$ и $b = 1$.
Применяем формулу разности квадратов:
$(p - n)^2 - 1^2 = ((p - n) - 1)((p - n) + 1)$.
Раскрываем внутренние скобки:
$(p - n - 1)(p - n + 1)$.
Ответ: $(p - n - 1)(p - n + 1)$.

в) Выражение $(x - y)^2 - 1$ решается аналогично предыдущему. Представим $1$ как $1^2$. В этом случае $a = (x - y)$ и $b = 1$.
Применяем формулу разности квадратов:
$(x - y)^2 - 1^2 = ((x - y) - 1)((x - y) + 1)$.
Раскрываем внутренние скобки:
$(x - y - 1)(x - y + 1)$.
Ответ: $(x - y - 1)(x - y + 1)$.

г) В выражении $(x + y)^2 - (x - y)^2$ в качестве $a$ берем $(x + y)$, а в качестве $b$ — $(x - y)$.
Применяем формулу разности квадратов:
$((x + y) - (x - y))((x + y) + (x - y))$.
Упростим выражение в каждой из полученных скобок:
В первой скобке: $x + y - x + y = 2y$.
Во второй скобке: $x + y + x - y = 2x$.
Теперь перемножим результаты: $2y \cdot 2x = 4xy$.
Ответ: $4xy$.

д) В выражении $(x - 1)^2 - (x + 1)^2$ в качестве $a$ выступает $(x - 1)$, а в качестве $b$ — $(x + 1)$.
Применяем формулу разности квадратов:
$((x - 1) - (x + 1))((x - 1) + (x + 1))$.
Упростим выражение в каждой из скобок:
В первой скобке: $x - 1 - x - 1 = -2$.
Во второй скобке: $x - 1 + x + 1 = 2x$.
Перемножаем полученные выражения: $(-2) \cdot (2x) = -4x$.
Ответ: $-4x$.

е) В выражении $(a - 2b)^2 - (2a - b)^2$ в качестве первого члена $a$ возьмем $(a - 2b)$, а в качестве второго $b$ — $(2a - b)$.
Применяем формулу разности квадратов:
$((a - 2b) - (2a - b))((a - 2b) + (2a - b))$.
Упростим каждую из скобок:
В первой скобке: $a - 2b - 2a + b = -a - b = -(a + b)$.
Во второй скобке: $a - 2b + 2a - b = 3a - 3b = 3(a - b)$.
Перемножаем полученные множители: $-(a + b) \cdot 3(a - b) = -3(a + b)(a - b)$.
Ответ: $-3(a + b)(a - b)$.

864 Разложите на множители:

a) $(a + b) + (a^2 - b^2)$;

б) $(x - y) + (x^2 - y^2)$;

в) $(b + c) - (b^2 - c^2)$;

г) $(2 - x) - (4 - x^2)$;

д) $(y - 1)^2 - (y^2 - 1)$;

е) $(a^2 - 4) + (a - 2)^2$.

а) В выражении $(a + b) + (a^2 - b^2)$ разложим второе слагаемое, $(a^2 - b^2)$, на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Получим: $(a + b) + (a - b)(a + b)$.
Теперь мы видим, что $(a + b)$ является общим множителем. Вынесем его за скобки:
$(a + b) \cdot (1 + (a - b))$.
Упростим выражение во вторых скобках:
$(a + b)(1 + a - b)$.
Ответ: $(a + b)(a - b + 1)$.

б) В выражении $(x - y) + (x^2 - y^2)$ применим формулу разности квадратов ко второму слагаемому: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Выражение примет вид: $(x - y) + (x - y)(x + y)$.
Общий множитель здесь — $(x - y)$. Вынесем его за скобки:
$(x - y) \cdot (1 + (x + y))$.
Упростим содержимое второй скобки:
$(x - y)(1 + x + y)$.
Ответ: $(x - y)(x + y + 1)$.

в) В выражении $(b + c) - (b^2 - c^2)$ разложим вычитаемое $(b^2 - c^2)$ по формуле разности квадратов: $b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$.
Получим: $(b + c) - (b - c)(b + c)$.
Вынесем общий множитель $(b + c)$ за скобки:
$(b + c) \cdot (1 - (b - c))$.
Раскроем скобки внутри второго множителя, учитывая знак минус:
$(b + c)(1 - b + c)$.
Ответ: $(b + c)(1 - b + c)$.

г) В выражении $(2 - x) - (4 - x^2)$ заметим, что $4 - x^2$ является разностью квадратов: $4 - x^2 = 2^2 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$.
Подставим это в исходное выражение: $(2 - x) - (2 - x)(2 + x)$.
Общий множитель $(2 - x)$ вынесем за скобки:
$(2 - x) \cdot (1 - (2 + x))$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(2 - x)(1 - 2 - x) = (2 - x)(-1 - x)$.
Для более стандартной записи можно вынести $-1$ из каждой скобки: $(-1)(x - 2) \cdot (-1)(x + 1) = (x - 2)(x + 1)$.
Ответ: $(x - 2)(x + 1)$.

д) В выражении $(y - 1)^2 - (y^2 - 1)$ разложим вычитаемое $(y^2 - 1)$ на множители: $y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$.
Выражение станет: $(y - 1)^2 - (y - 1)(y + 1)$.
Вынесем общий множитель $(y - 1)$ за скобки:
$(y - 1) \cdot ((y - 1) - (y + 1))$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(y - 1)(y - 1 - y - 1) = (y - 1)(-2)$.
Запишем в более привычном виде:
$-2(y - 1)$.
Ответ: $-2(y - 1)$.

е) В выражении $(a^2 - 4) + (a - 2)^2$ разложим первое слагаемое $(a^2 - 4)$ на множители: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$.
Получим: $(a - 2)(a + 2) + (a - 2)^2$.
Вынесем общий множитель $(a - 2)$ за скобки:
$(a - 2) \cdot ((a + 2) + (a - 2))$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(a - 2)(a + 2 + a - 2) = (a - 2)(2a)$.
Запишем в стандартном виде:
$2a(a - 2)$.
Ответ: $2a(a - 2)$.

865 Докажите, что:

а) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел; $(n+1)^2 - n^2 = n + (n+1)$

б) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел. $(2k+2)^2 - (2k)^2 = 2((2k) + (2k+2))$

Проиллюстрируйте доказанные утверждения конкретными примерами.

а) Докажем, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел.

Пусть даны два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$. Разность их квадратов равна $(n+1)^2 - n^2$, а сумма этих чисел — $n + (n+1)$. Необходимо доказать тождество: $(n+1)^2 - n^2 = n + (n+1)$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(n+1)^2 - n^2 = ((n+1)-n)((n+1)+n) = 1 \cdot (2n+1) = 2n+1$.

Теперь преобразуем правую часть равенства:

$n + (n+1) = 2n+1$.

Поскольку левая и правая части равенства тождественно равны ($2n+1 = 2n+1$), утверждение доказано.

Иллюстрация:

Возьмем в качестве примера числа 7 и 8. Разность их квадратов: $8^2 - 7^2 = 64 - 49 = 15$. Сумма этих чисел: $7 + 8 = 15$. Равенство $15 = 15$ подтверждает доказанное утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Разность квадратов двух последовательных натуральных чисел $(n+1)^2 - n^2$ равна их сумме $n+(n+1)$.

б) Докажем, что разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел.

Пусть даны два последовательных чётных числа. Их можно представить в виде $2n$ и $2n+2$, где $n$ — натуральное число. Разность их квадратов равна $(2n+2)^2 - (2n)^2$. Сумма этих чисел: $2n + (2n+2) = 4n+2$. Удвоенная сумма этих чисел: $2(2n + (2n+2)) = 2(4n+2)$. Необходимо доказать тождество: $(2n+2)^2 - (2n)^2 = 2(2n + (2n+2))$.

Преобразуем левую часть равенства по формуле разности квадратов:

$(2n+2)^2 - (2n)^2 = ((2n+2)-2n)((2n+2)+2n) = 2 \cdot (4n+2) = 8n+4$.

Преобразуем правую часть:

$2(2n + (2n+2)) = 2(4n+2) = 8n+4$.

Поскольку левая и правая части равенства тождественно равны ($8n+4 = 8n+4$), утверждение доказано.

Иллюстрация:

Возьмем в качестве примера чётные числа 10 и 12. Разность их квадратов: $12^2 - 10^2 = 144 - 100 = 44$. Сумма этих чисел: $10 + 12 = 22$. Удвоенная сумма: $2 \cdot 22 = 44$. Равенство $44 = 44$ подтверждает доказанное утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Разность квадратов двух последовательных чётных чисел $(2n+2)^2 - (2n)^2$ равна их удвоенной сумме $2((2n+2) + 2n)$.