Страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Запишите формулу разности квадратов и прочитайте её (фрагмент 1). Можно ли применить формулу разности квадратов к выражению $4x^2 + y^2$? $a^2 - 25b^2$? $100a - c^2$?

Запишите формулу разности квадратов и прочитайте её (фрагмент 1).
Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Читается эта формула так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.
Ответ: Формула: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Чтение: разность квадратов двух выражений равна произведению их разности на их сумму.

Можно ли применить формулу разности квадратов к выражению $4x^2 + y^2$?
Нет, нельзя. Формула разности квадратов применяется к выражению, которое представляет собой разность (вычитание) двух квадратов. Выражение $4x^2 + y^2$ является суммой двух квадратов: $(2x)^2 + y^2$. Формулы для разложения на множители суммы квадратов в действительных числах не существует.
Ответ: Нет.

Можно ли применить формулу разности квадратов к выражению $a^2 - 25b^2$?
Да, можно. Данное выражение является разностью двух выражений, каждое из которых представляет собой полный квадрат:
- Первое слагаемое: $a^2$ — это квадрат выражения $a$.
- Второе слагаемое: $25b^2$ — это квадрат выражения $5b$, так как $(5b)^2 = 5^2 \cdot b^2 = 25b^2$.
Таким образом, мы можем применить формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = a$ и $B = 5b$.
$a^2 - 25b^2 = a^2 - (5b)^2 = (a - 5b)(a + 5b)$.
Ответ: Да.

Можно ли применить формулу разности квадратов к выражению $100a - c^2$?
Нет, нельзя. Хотя это выражение и является разностью, и второй член $c^2$ является квадратом выражения $c$, первый член $100a$ не является полным квадратом. Число $100$ — это квадрат $10$, но переменная $a$ стоит в первой степени. Чтобы выражение $100a$ было полным квадратом, переменная $a$ также должна быть в четной степени. В общем виде $100a$ не является квадратом какого-либо выражения.
Ответ: Нет.

Объясните, как разложить на множители выражение $16 - 9c^2$.

Для разложения на множители выражения $16 - 9c^2$ используется формула сокращённого умножения, известная как «разность квадратов».

Формула разности квадратов имеет следующий вид: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Чтобы применить эту формулу, необходимо представить каждый член исходного выражения в виде квадрата какого-либо числа или выражения.

Сначала представим первый член, число 16, в виде квадрата: $16 = 4^2$.

Затем представим второй член, $9c^2$, в виде квадрата: $9c^2 = (3c)^2$.

Теперь исходное выражение можно переписать как разность квадратов: $16 - 9c^2 = 4^2 - (3c)^2$.

В данном случае, $a$ соответствует $4$, а $b$ соответствует $3c$. Подставим эти значения в формулу разности квадратов:

$4^2 - (3c)^2 = (4 - 3c)(4 + 3c)$.

Следовательно, выражение $16 - 9c^2$ раскладывается на два множителя: $(4 - 3c)$ и $(4 + 3c)$.

Ответ: $(4 - 3c)(4 + 3c)$

Воспользовавшись примером 2 как образцом, докажите, что разность $59^2 - 41^2$ делится на 200.

Запишите формулы...

Чтобы доказать, что разность $59^2 - 41^2$ делится на 200, необходимо использовать формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 59$, а $b = 41$:

$59^2 - 41^2 = (59 - 41)(59 + 41)$

Далее вычислим значения в каждой скобке:

Первая скобка: $59 - 41 = 18$

Вторая скобка: $59 + 41 = 100$

Теперь подставим полученные значения обратно в разложение:

$(59 - 41)(59 + 41) = 18 \cdot 100 = 1800$

Итак, мы выяснили, что $59^2 - 41^2 = 1800$.

Осталось проверить, делится ли число 1800 на 200. Для этого выполним деление:

$\frac{1800}{200} = \frac{18}{2} = 9$

Результатом деления является целое число 9, что доказывает, что 1800 делится на 200 без остатка. Следовательно, утверждение, что разность $59^2 - 41^2$ делится на 200, является верным.

Ответ: Разложение выражения по формуле разности квадратов дает $(59 - 41)(59 + 41) = 18 \cdot 100 = 1800$. Так как $1800 = 200 \cdot 9$, то разность $59^2 - 41^2$ делится на 200.

делится на 200.

Запишите формулу разности квадратов справа налево и прочитайте её (фрагмент 2). Примените записанную вами формулу сокращённого умножения для преобразования произведения $(2m - 3n)(2m + 3n)$; $(5a + 1)(5a - 1)$.

Формула разности квадратов, записанная справа налево, чтобы использовать её для умножения многочленов, выглядит так:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Читается эта формула следующим образом: "Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений".

Применим эту формулу сокращенного умножения для преобразования данных произведений.

(2m - 3n)(2m + 3n)

Данное выражение является произведением разности выражений $2m$ и $3n$ и их суммы. Это полностью соответствует левой части формулы $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a = 2m$ и $b = 3n$.

Подставляем эти значения в правую часть формулы:

$(2m - 3n)(2m + 3n) = (2m)^2 - (3n)^2$

Теперь выполним операцию возведения в квадрат для каждого слагаемого:

$(2m)^2 = 2^2 \cdot m^2 = 4m^2$

$(3n)^2 = 3^2 \cdot n^2 = 9n^2$

В результате получаем многочлен:

$4m^2 - 9n^2$

Ответ: $4m^2 - 9n^2$.

(5a + 1)(5a - 1)

Это выражение также является произведением, но в данном случае суммы выражений $5a$ и $1$ и их разности. Так как от перемены мест множителей произведение не меняется, мы можем применить ту же формулу $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.

Здесь в качестве $a$ выступает $5a$, а в качестве $b$ — $1$.

Подставим эти значения в формулу:

$(5a + 1)(5a - 1) = (5a)^2 - 1^2$

Выполним возведение в квадрат:

$(5a)^2 = 5^2 \cdot a^2 = 25a^2$

$1^2 = 1$

Таким образом, итоговый многочлен:

$25a^2 - 1$

Ответ: $25a^2 - 1$.