Страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

844 a) $ax - a + bx - b + cx - c;$

б) $ax + bx - ay - by + az + bz;$

в) $ax - bx - x + ay - by - y;$

г) $2a^2 - a + 2ab - b - 2ac + c;$

д) $a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 - b^5;$

е) $px^2 + qx + q^2y + pqxy + p^2qx + pq^2.$

Подсказка. Можно группировать как по два, так и по три слагаемых.

а)

Для разложения на множители многочлена $ax - a + bx - b + cx - c$ применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители:

$(ax - a) + (bx - b) + (cx - c)$

Из каждой группы вынесем общий множитель за скобки. Из первой группы вынесем $a$, из второй $b$, из третьей $c$:

$a(x - 1) + b(x - 1) + c(x - 1)$

Теперь мы видим, что у всех слагаемых есть общий множитель $(x - 1)$. Вынесем его за скобки:

$(a + b + c)(x - 1)$

Ответ: $(a + b + c)(x - 1)$.

б)

Рассмотрим многочлен $ax + bx - ay - by + az + bz$. Сгруппируем слагаемые. Удобно сгруппировать слагаемые, содержащие одинаковые переменные $x$, $y$ и $z$:

$(ax + bx) - (ay + by) + (az + bz)$

Обратите внимание на знак перед второй скобкой. При вынесении минуса знаки слагаемых в скобке меняются на противоположные: $-ay - by = -(ay + by)$.

Теперь вынесем общие множители из каждой группы:

$x(a + b) - y(a + b) + z(a + b)$

Общим множителем для всех трех получившихся слагаемых является выражение $(a + b)$. Вынесем его за скобки:

$(a + b)(x - y + z)$

Ответ: $(a + b)(x - y + z)$.

в)

Разложим на множители выражение $ax - bx - x + ay - by - y$. Сгруппируем слагаемые, содержащие множители $a$, $b$ и слагаемые без них:

$(ax + ay) - (bx + by) - (x + y)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(x + y) - b(x + y) - 1(x + y)$

Общий множитель для всех слагаемых — это $(x + y)$. Вынесем его за скобки:

$(a - b - 1)(x + y)$

Ответ: $(a - b - 1)(x + y)$.

г)

Рассмотрим выражение $2a^2 - a + 2ab - b - 2ac + c$. Сгруппируем слагаемые попарно:

$(2a^2 - a) + (2ab - b) - (2ac - c)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$a(2a - 1) + b(2a - 1) - c(2a - 1)$

Теперь у всех слагаемых есть общий множитель $(2a - 1)$. Выносим его за скобки:

$(a + b - c)(2a - 1)$

Ответ: $(2a - 1)(a + b - c)$.

д)

Для разложения на множители выражения $a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 - b^5$ сгруппируем слагаемые попарно:

$(a^5 - a^4b) + (a^3b^2 - a^2b^3) + (ab^4 - b^5)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^4(a - b) + a^2b^2(a - b) + b^4(a - b)$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$

Полученное выражение в скобках $(a^4 + a^2b^2 + b^4)$ можно разложить дальше, дополнив его до полного квадрата суммы и применив формулу разности квадратов. Для этого прибавим и вычтем $a^2b^2$:

$a^4 + a^2b^2 + b^4 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - a^2b^2 = (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2$

Теперь применяем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$((a^2 + b^2) - ab)((a^2 + b^2) + ab) = (a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$

Ответ: $(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$.

е)

Разложим на множители многочлен $px^2 + qx + q^2y + pqxy + p^2qx + pq^2$. Сгруппируем слагаемые по два в том порядке, в котором они даны:

$(px^2 + qx) + (q^2y + pqxy) + (p^2qx + pq^2)$

Вынесем из каждой группы общий множитель:

$x(px + q) + qy(q + px) + pq(px + q)$

Заметим, что $(q + px)$ и $(px + q)$ — это одно и то же выражение. Таким образом, мы имеем общий множитель $(px + q)$ для всех трех слагаемых.

$x(px + q) + qy(px + q) + pq(px + q)$

Вынесем общий множитель $(px + q)$ за скобки:

$(px + q)(x + qy + pq)$

Ответ: $(px + q)(x + qy + pq)$.

845 a) $xy(x-y) - xz(y-z) - xz(x-y) + yz(y-z);$

б) $(a-x)(x-y)(y+x+a) - (y-x)(x-a)(y-x-a).$

а)

Для упрощения выражения $xy(x - y) - xz(y - z) - xz(x - y) + yz(y - z)$ сгруппируем слагаемые с одинаковыми множителями в скобках.
Сгруппируем слагаемые, содержащие $(x - y)$, и слагаемые, содержащие $(y - z)$:
$(xy(x - y) - xz(x - y)) + (yz(y - z) - xz(y - z))$
Вынесем общие множители $(x - y)$ и $(y - z)$ за скобки в каждой группе:
$(x - y)(xy - xz) + (y - z)(yz - xz)$
Теперь в каждой группе вынесем за скобки общий одночленный множитель. Из скобки $(xy - xz)$ вынесем $x$, а из $(yz - xz)$ вынесем $z$:
$(x - y)x(y - z) + (y - z)z(y - x)$
Заметим, что множитель $(y - x)$ можно представить как $-(x - y)$. Сделаем замену:
$x(x - y)(y - z) + z(y - z)(-(x - y))$
$x(x - y)(y - z) - z(x - y)(y - z)$
Теперь мы видим общий множитель $(x - y)(y - z)$, который можно вынести за скобки:
$(x - y)(y - z)(x - z)$

Ответ: $(x - y)(y - z)(x - z)$

б)

Рассмотрим выражение $(a - x)(x - y)(y + x + a) - (y - x)(x - a)(y - x - a)$.
Наша цель — найти общие множители. Для этого преобразуем второе слагаемое, используя тождества $(y - x) = -(x - y)$ и $(x - a) = -(a - x)$.
Произведение множителей во втором слагаемом $(y - x)(x - a)$ равно:
$(-(x - y)) \cdot (-(a - x)) = (x - y)(a - x)$.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$(a - x)(x - y)(y + x + a) - (a - x)(x - y)(y - x - a)$
Теперь мы видим общий множитель $(a - x)(x - y)$, который можно вынести за скобки:
$(a - x)(x - y) \cdot [(y + x + a) - (y - x - a)]$
Упростим выражение в квадратных скобках:
$y + x + a - y + x + a = (y - y) + (x + x) + (a + a) = 2x + 2a = 2(x + a)$
Подставим результат обратно в наше выражение:
$(a - x)(x - y) \cdot 2(x + a)$
Для более компактной записи перегруппируем множители и воспользуемся формулой разности квадратов $(a - x)(a + x) = a^2 - x^2$:
$2(a - x)(a + x)(x - y) = 2(a^2 - x^2)(x - y)$

Ответ: $2(a^2 - x^2)(x - y)$

846 Разложите на множители трёхчлен:

a) $a^2 + 5ab + 4b^2$;

в) $b^2 + 5b + 6$;

б) $c^2 - 4cb + 3b^2$;

г) $c^2 - 7c + 12.

Образец. Разложим на множители многочлен

$2x^2 + 5xy + 2y^2$.

Чтобы применить группировку, разобъём слагаемое $5xy$ на два одночлена: $xy$ и $4xy$. Получим

$2x^2 + 5xy + 2y^2 = 2x^2 + xy + 4xy + 2y^2 = x(2x + y) + 2y(2x + y) = (2x + y)(x + 2y).$

а) $a^2 + 5ab + 4b^2$

Чтобы разложить данный трёхчлен на множители, воспользуемся методом группировки. Для этого представим средний член $5ab$ в виде суммы двух одночленов. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при $ab$, то есть 5, а произведение равно произведению коэффициентов при $a^2$ и $b^2$, то есть $1 \cdot 4 = 4$. Такими числами являются 1 и 4 ($1+4=5$, $1 \cdot 4=4$).

Представим $5ab$ в виде суммы $ab + 4ab$ и выполним группировку:

$a^2 + 5ab + 4b^2 = a^2 + ab + 4ab + 4b^2 = (a^2 + ab) + (4ab + 4b^2)$

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$a(a + b) + 4b(a + b)$

Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a + b)(a + 4b)$

Ответ: $(a + b)(a + 4b)$

б) $c^2 - 4cb + 3b^2$

Представим средний член $-4cb$ в виде суммы двух одночленов. Ищем два числа, сумма которых равна -4, а произведение равно $1 \cdot 3 = 3$. Эти числа — -1 и -3 ($-1 + (-3) = -4$, $-1 \cdot (-3) = 3$).

Запишем $-4cb$ как $-cb - 3cb$ и сгруппируем слагаемые:

$c^2 - 4cb + 3b^2 = c^2 - cb - 3cb + 3b^2 = (c^2 - cb) - (3cb - 3b^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$c(c - b) - 3b(c - b)$

Вынесем общий множитель $(c - b)$ за скобки:

$(c - b)(c - 3b)$

Ответ: $(c - b)(c - 3b)$

в) $b^2 + 5b + 6$

Это приведённый квадратный трёхчлен. Для его разложения на множители представим член $5b$ в виде суммы. Ищем два числа, сумма которых равна 5, а произведение равно 6. Это числа 2 и 3 ($2+3=5$, $2 \cdot 3=6$).

Представим $5b$ как $2b + 3b$:

$b^2 + 5b + 6 = b^2 + 2b + 3b + 6$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$(b^2 + 2b) + (3b + 6) = b(b + 2) + 3(b + 2)$

Вынесем общий множитель $(b + 2)$ за скобки:

$(b + 2)(b + 3)$

Ответ: $(b + 2)(b + 3)$

г) $c^2 - 7c + 12$

Для разложения этого приведённого квадратного трёхчлена представим $-7c$ в виде суммы. Ищем два числа, сумма которых равна -7, а произведение равно 12. Это числа -3 и -4 ($-3 + (-4) = -7$, $-3 \cdot (-4) = 12$).

Представим $-7c$ как $-3c - 4c$:

$c^2 - 7c + 12 = c^2 - 3c - 4c + 12$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$(c^2 - 3c) - (4c - 12) = c(c - 3) - 4(c - 3)$

Вынесем общий множитель $(c - 3)$ за скобки:

$(c - 3)(c - 4)$

Ответ: $(c - 3)(c - 4)$