Номер 846, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.2. Способ группировки. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 846, страница 233.

846 Разложите на множители трёхчлен:

a) $a^2 + 5ab + 4b^2$;

в) $b^2 + 5b + 6$;

б) $c^2 - 4cb + 3b^2$;

г) $c^2 - 7c + 12.

Образец. Разложим на множители многочлен

$2x^2 + 5xy + 2y^2$.

Чтобы применить группировку, разобъём слагаемое $5xy$ на два одночлена: $xy$ и $4xy$. Получим

$2x^2 + 5xy + 2y^2 = 2x^2 + xy + 4xy + 2y^2 = x(2x + y) + 2y(2x + y) = (2x + y)(x + 2y).$

а) $a^2 + 5ab + 4b^2$

Чтобы разложить данный трёхчлен на множители, воспользуемся методом группировки. Для этого представим средний член $5ab$ в виде суммы двух одночленов. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при $ab$, то есть 5, а произведение равно произведению коэффициентов при $a^2$ и $b^2$, то есть $1 \cdot 4 = 4$. Такими числами являются 1 и 4 ($1+4=5$, $1 \cdot 4=4$).

Представим $5ab$ в виде суммы $ab + 4ab$ и выполним группировку:

$a^2 + 5ab + 4b^2 = a^2 + ab + 4ab + 4b^2 = (a^2 + ab) + (4ab + 4b^2)$

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$a(a + b) + 4b(a + b)$

Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a + b)(a + 4b)$

Ответ: $(a + b)(a + 4b)$

б) $c^2 - 4cb + 3b^2$

Представим средний член $-4cb$ в виде суммы двух одночленов. Ищем два числа, сумма которых равна -4, а произведение равно $1 \cdot 3 = 3$. Эти числа — -1 и -3 ($-1 + (-3) = -4$, $-1 \cdot (-3) = 3$).

Запишем $-4cb$ как $-cb - 3cb$ и сгруппируем слагаемые:

$c^2 - 4cb + 3b^2 = c^2 - cb - 3cb + 3b^2 = (c^2 - cb) - (3cb - 3b^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$c(c - b) - 3b(c - b)$

Вынесем общий множитель $(c - b)$ за скобки:

$(c - b)(c - 3b)$

Ответ: $(c - b)(c - 3b)$

в) $b^2 + 5b + 6$

Это приведённый квадратный трёхчлен. Для его разложения на множители представим член $5b$ в виде суммы. Ищем два числа, сумма которых равна 5, а произведение равно 6. Это числа 2 и 3 ($2+3=5$, $2 \cdot 3=6$).

Представим $5b$ как $2b + 3b$:

$b^2 + 5b + 6 = b^2 + 2b + 3b + 6$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$(b^2 + 2b) + (3b + 6) = b(b + 2) + 3(b + 2)$

Вынесем общий множитель $(b + 2)$ за скобки:

$(b + 2)(b + 3)$

Ответ: $(b + 2)(b + 3)$

г) $c^2 - 7c + 12$

Для разложения этого приведённого квадратного трёхчлена представим $-7c$ в виде суммы. Ищем два числа, сумма которых равна -7, а произведение равно 12. Это числа -3 и -4 ($-3 + (-4) = -7$, $-3 \cdot (-4) = 12$).

Представим $-7c$ как $-3c - 4c$:

$c^2 - 7c + 12 = c^2 - 3c - 4c + 12$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$(c^2 - 3c) - (4c - 12) = c(c - 3) - 4(c - 3)$

Вынесем общий множитель $(c - 3)$ за скобки:

$(c - 3)(c - 4)$

Ответ: $(c - 3)(c - 4)$