Номер 845, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.2. Способ группировки. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 845, страница 233.

845 a) $xy(x-y) - xz(y-z) - xz(x-y) + yz(y-z);$

б) $(a-x)(x-y)(y+x+a) - (y-x)(x-a)(y-x-a).$

а)

Для упрощения выражения $xy(x - y) - xz(y - z) - xz(x - y) + yz(y - z)$ сгруппируем слагаемые с одинаковыми множителями в скобках.
Сгруппируем слагаемые, содержащие $(x - y)$, и слагаемые, содержащие $(y - z)$:
$(xy(x - y) - xz(x - y)) + (yz(y - z) - xz(y - z))$
Вынесем общие множители $(x - y)$ и $(y - z)$ за скобки в каждой группе:
$(x - y)(xy - xz) + (y - z)(yz - xz)$
Теперь в каждой группе вынесем за скобки общий одночленный множитель. Из скобки $(xy - xz)$ вынесем $x$, а из $(yz - xz)$ вынесем $z$:
$(x - y)x(y - z) + (y - z)z(y - x)$
Заметим, что множитель $(y - x)$ можно представить как $-(x - y)$. Сделаем замену:
$x(x - y)(y - z) + z(y - z)(-(x - y))$
$x(x - y)(y - z) - z(x - y)(y - z)$
Теперь мы видим общий множитель $(x - y)(y - z)$, который можно вынести за скобки:
$(x - y)(y - z)(x - z)$

Ответ: $(x - y)(y - z)(x - z)$

б)

Рассмотрим выражение $(a - x)(x - y)(y + x + a) - (y - x)(x - a)(y - x - a)$.
Наша цель — найти общие множители. Для этого преобразуем второе слагаемое, используя тождества $(y - x) = -(x - y)$ и $(x - a) = -(a - x)$.
Произведение множителей во втором слагаемом $(y - x)(x - a)$ равно:
$(-(x - y)) \cdot (-(a - x)) = (x - y)(a - x)$.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$(a - x)(x - y)(y + x + a) - (a - x)(x - y)(y - x - a)$
Теперь мы видим общий множитель $(a - x)(x - y)$, который можно вынести за скобки:
$(a - x)(x - y) \cdot [(y + x + a) - (y - x - a)]$
Упростим выражение в квадратных скобках:
$y + x + a - y + x + a = (y - y) + (x + x) + (a + a) = 2x + 2a = 2(x + a)$
Подставим результат обратно в наше выражение:
$(a - x)(x - y) \cdot 2(x + a)$
Для более компактной записи перегруппируем множители и воспользуемся формулой разности квадратов $(a - x)(a + x) = a^2 - x^2$:
$2(a - x)(a + x)(x - y) = 2(a^2 - x^2)(x - y)$

Ответ: $2(a^2 - x^2)(x - y)$