Номер 844, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.2. Способ группировки. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 844, страница 233.

844 a) $ax - a + bx - b + cx - c;$

б) $ax + bx - ay - by + az + bz;$

в) $ax - bx - x + ay - by - y;$

г) $2a^2 - a + 2ab - b - 2ac + c;$

д) $a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 - b^5;$

е) $px^2 + qx + q^2y + pqxy + p^2qx + pq^2.$

Подсказка. Можно группировать как по два, так и по три слагаемых.

а)

Для разложения на множители многочлена $ax - a + bx - b + cx - c$ применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители:

$(ax - a) + (bx - b) + (cx - c)$

Из каждой группы вынесем общий множитель за скобки. Из первой группы вынесем $a$, из второй $b$, из третьей $c$:

$a(x - 1) + b(x - 1) + c(x - 1)$

Теперь мы видим, что у всех слагаемых есть общий множитель $(x - 1)$. Вынесем его за скобки:

$(a + b + c)(x - 1)$

Ответ: $(a + b + c)(x - 1)$.

б)

Рассмотрим многочлен $ax + bx - ay - by + az + bz$. Сгруппируем слагаемые. Удобно сгруппировать слагаемые, содержащие одинаковые переменные $x$, $y$ и $z$:

$(ax + bx) - (ay + by) + (az + bz)$

Обратите внимание на знак перед второй скобкой. При вынесении минуса знаки слагаемых в скобке меняются на противоположные: $-ay - by = -(ay + by)$.

Теперь вынесем общие множители из каждой группы:

$x(a + b) - y(a + b) + z(a + b)$

Общим множителем для всех трех получившихся слагаемых является выражение $(a + b)$. Вынесем его за скобки:

$(a + b)(x - y + z)$

Ответ: $(a + b)(x - y + z)$.

в)

Разложим на множители выражение $ax - bx - x + ay - by - y$. Сгруппируем слагаемые, содержащие множители $a$, $b$ и слагаемые без них:

$(ax + ay) - (bx + by) - (x + y)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(x + y) - b(x + y) - 1(x + y)$

Общий множитель для всех слагаемых — это $(x + y)$. Вынесем его за скобки:

$(a - b - 1)(x + y)$

Ответ: $(a - b - 1)(x + y)$.

г)

Рассмотрим выражение $2a^2 - a + 2ab - b - 2ac + c$. Сгруппируем слагаемые попарно:

$(2a^2 - a) + (2ab - b) - (2ac - c)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$a(2a - 1) + b(2a - 1) - c(2a - 1)$

Теперь у всех слагаемых есть общий множитель $(2a - 1)$. Выносим его за скобки:

$(a + b - c)(2a - 1)$

Ответ: $(2a - 1)(a + b - c)$.

д)

Для разложения на множители выражения $a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 - b^5$ сгруппируем слагаемые попарно:

$(a^5 - a^4b) + (a^3b^2 - a^2b^3) + (ab^4 - b^5)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^4(a - b) + a^2b^2(a - b) + b^4(a - b)$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$

Полученное выражение в скобках $(a^4 + a^2b^2 + b^4)$ можно разложить дальше, дополнив его до полного квадрата суммы и применив формулу разности квадратов. Для этого прибавим и вычтем $a^2b^2$:

$a^4 + a^2b^2 + b^4 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - a^2b^2 = (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2$

Теперь применяем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$((a^2 + b^2) - ab)((a^2 + b^2) + ab) = (a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$

Ответ: $(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$.

е)

Разложим на множители многочлен $px^2 + qx + q^2y + pqxy + p^2qx + pq^2$. Сгруппируем слагаемые по два в том порядке, в котором они даны:

$(px^2 + qx) + (q^2y + pqxy) + (p^2qx + pq^2)$

Вынесем из каждой группы общий множитель:

$x(px + q) + qy(q + px) + pq(px + q)$

Заметим, что $(q + px)$ и $(px + q)$ — это одно и то же выражение. Таким образом, мы имеем общий множитель $(px + q)$ для всех трех слагаемых.

$x(px + q) + qy(px + q) + pq(px + q)$

Вынесем общий множитель $(px + q)$ за скобки:

$(px + q)(x + qy + pq)$

Ответ: $(px + q)(x + qy + pq)$.