Номер 841, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.2. Способ группировки. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 841, страница 232.

841 РАССУЖДАЕМ Запишите вместо многоточия такое слагаемое, чтобы многочлен можно было разложить на множители:

а) $ax + bx + ca ...;$

б) $n^3 - 2n^2 + n ...;$

в) $m^2n - m - mn ...;$

г) $mc + c - mb ...$

а) Чтобы многочлен $ax + bx + ca + ...$ можно было разложить на множители, необходимо добавить такое слагаемое, которое позволит сгруппировать члены и вынести общий множитель.
Сгруппируем первые два слагаемых: $ax + bx = x(a + b)$.
Чтобы во второй группе, состоящей из $ca$ и искомого слагаемого, можно было вынести множитель так, чтобы в скобках осталось $(a+b)$, нужно, чтобы второе слагаемое в этой группе было $cb$. Тогда вторая группа будет выглядеть как $ca + cb = c(a + b)$.
Итак, добавим слагаемое $cb$. Исходный многочлен примет вид: $ax + bx + ca + cb$
Разложим его на множители методом группировки: $(ax + bx) + (ca + cb) = x(a + b) + c(a + b) = (a + b)(x + c)$
Разложение на множители возможно. Значит, искомое слагаемое — $cb$.
Ответ: $cb$.

б) Рассмотрим многочлен $n^3 - 2n^2 + n + ...$.
Сгруппируем первые два слагаемых: $n^3 - 2n^2 = n^2(n - 2)$.
Чтобы во второй группе, начинающейся с $n$, можно было получить общий множитель $(n-2)$, нужно, чтобы второе слагаемое в этой группе было $-2$. Тогда вторая группа будет $(n-2)$.
Добавим слагаемое $-2$. Многочлен примет вид: $n^3 - 2n^2 + n - 2$
Разложим его на множители методом группировки: $(n^3 - 2n^2) + (n - 2) = n^2(n - 2) + 1 \cdot (n - 2) = (n - 2)(n^2 + 1)$
Разложение на множители возможно. Значит, искомое слагаемое — $-2$.
Ответ: $-2$.

в) Рассмотрим многочлен $m^2n - m - mn + ...$.
Для удобства сгруппируем слагаемые, содержащие $n$, и слагаемые без $n$. Переставим члены: $(m^2n - mn) + (-m + ...)$.
В первой группе вынесем общий множитель $mn$: $mn(m - 1)$.
Чтобы во второй группе, $(-m + ...)$, можно было получить общий множитель $(m-1)$, нужно вынести за скобку $-1$. Тогда группа должна выглядеть как $-1(m - 1) = -m + 1$. Значит, искомое слагаемое равно $1$.
Добавим слагаемое $1$. Многочлен примет вид: $m^2n - m - mn + 1$
Сгруппируем и разложим на множители: $(m^2n - mn) + (-m + 1) = mn(m - 1) - 1(m - 1) = (m - 1)(mn - 1)$
Разложение на множители возможно. Значит, искомое слагаемое — $1$.
Ответ: $1$.

г) Рассмотрим многочлен $mc + c - mb + ...$.
Сгруппируем первые два слагаемых: $mc + c = c(m + 1)$.
Во второй группе, $(-mb + ...)$, нужно получить общий множитель $(m+1)$. Для этого вынесем за скобку $-b$. Группа должна выглядеть так: $-b(m+1) = -mb - b$. Значит, искомое слагаемое равно $-b$.
Добавим слагаемое $-b$. Многочлен примет вид: $mc + c - mb - b$
Сгруппируем и разложим на множители: $(mc + c) + (-mb - b) = c(m + 1) - b(m + 1) = (m + 1)(c - b)$
Разложение на множители возможно. Значит, искомое слагаемое — $-b$.
Ответ: $-b$.