Страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Прокомментируйте каждый шаг разложения многочлена на множители:

$2a + 2b + ca + cb = (2a + 2b) + (ca + cb) = 2(a + b) + c(a + b) = (a + b)(2 + c).$

Как называют применённый здесь способ разложения на множители?

Прокомментируйте каждый шаг разложения многочлена на множители:
Данное разложение многочлена $2a + 2b + ca + cb$ на множители выполняется в три последовательных шага:

1. Шаг $2a + 2b + ca + cb = (2a + 2b) + (ca + cb)$
На этом этапе применяется метод группировки. Члены многочлена объединяются в две группы. В первую группу вошли слагаемые $2a$ и $2b$, а во вторую — $ca$ и $cb$. Группировка производится таким образом, чтобы в каждой из полученных групп можно было вынести за скобки общий множитель.

2. Шаг $(2a + 2b) + (ca + cb) = 2(a + b) + c(a + b)$
На втором шаге из каждой группы выносится общий множитель за скобки. В первой группе $(2a + 2b)$ общим множителем является число $2$. После его вынесения получаем $2(a + b)$. Во второй группе $(ca + cb)$ общим множителем является переменная $c$. После ее вынесения получаем $c(a + b)$. Ключевым результатом этого шага является то, что теперь оба слагаемых $2(a + b)$ и $c(a + b)$ имеют общий множитель в виде многочлена $(a + b)$.

3. Шаг $2(a + b) + c(a + b) = (a + b)(2 + c)$
На заключительном шаге общий множитель $(a + b)$ выносится за скобки из всего выражения. От первого слагаемого $2(a + b)$ остается множитель $2$, а от второго слагаемого $c(a + b)$ остается множитель $c$. В результате мы получаем выражение, представляющее собой произведение двух многочленов (множителей): $(a + b)$ и $(2 + c)$.

Ответ: Выше представлен подробный комментарий к каждому шагу разложения многочлена на множители.

Как называют применённый здесь способ разложения на множители?
Применённый метод разложения многочлена на множители называется способ группировки. Суть этого метода заключается в объединении слагаемых многочлена в группы, из каждой из которых можно вынести общий множитель, что в итоге приводит к появлению общего множителя-многочлена для всех групп, который затем также выносится за скобки.

Ответ: Способ группировки.

Сгруппируйте члены многочлена $2a + 2b + ca + cb$ иначе, чем это сделано в первом случае, и выполните разложение на множители.

Дан многочлен: $2a + 2b + ca + cb$.

Задача состоит в том, чтобы разложить этот многочлен на множители, используя другой способ группировки, нежели в "первом случае". Существует два основных способа группировки членов этого многочлена.

Первый способ (вероятно, тот, о котором говорится как о "первом случае") — это группировка членов с общими коэффициентами $2$ и $c$:

$(2a + 2b) + (ca + cb) = 2(a + b) + c(a + b) = (a + b)(2 + c)$

Второй способ ("иначе") — это группировка членов с общими переменными $a$ и $b$. Выполним разложение, используя этот способ.

1. Исходный многочлен: $2a + 2b + ca + cb$.

2. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$(2a + ca) + (2b + cb)$

3. В каждой группе вынесем общий множитель за скобки. В первой группе это $a$, во второй — $b$:

$a(2 + c) + b(2 + c)$

4. Теперь у обоих слагаемых появился общий множитель — выражение $(2 + c)$. Вынесем его за скобки:

$(a + b)(2 + c)$

Как видно, результат разложения на множители не зависит от способа группировки.

Ответ: $(a + b)(2 + c)$