Страница 227 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Запишите распределительное свойство умножения в том виде, как оно применяется для вынесения общего множителя за скобки.

Распределительное свойство умножения, также известное как дистрибутивность, связывает операции умножения и сложения (или вычитания). Обычно его записывают в виде, который используется для раскрытия скобок: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Однако для выполнения обратной операции — вынесения общего множителя за скобки — это свойство применяется в обратном порядке. Если в сумме или разности нескольких слагаемых есть один и тот же множитель (общий множитель), его можно "вынести" за скобки. Это преобразование, которое позволяет представить сумму или разность в виде произведения.

Таким образом, распределительное свойство умножения в виде, который применяется для вынесения общего множителя за скобки, записывается следующими формулами:

1. Для суммы (сложения):
$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$
В этом выражении a является общим множителем для слагаемых $a \cdot b$ и $a \cdot c$. Мы выносим его за скобку, а в скобках остается сумма того, что осталось от каждого слагаемого, — $b + c$.

2. Для разности (вычитания):
$a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$
Аналогично, общий множитель a выносится за скобку, а в скобках остается разность $b - c$.

Пример:
Рассмотрим выражение $12x + 18y$.
1. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 12 и 18. НОД(12, 18) = 6.
2. Представим каждое слагаемое как произведение с общим множителем 6:
$12x = 6 \cdot 2x$
$18y = 6 \cdot 3y$
3. Подставим это в исходное выражение:
$12x + 18y = 6 \cdot 2x + 6 \cdot 3y$
4. Применим формулу $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$, где $a=6$, $b=2x$, $c=3y$. Вынесем общий множитель 6 за скобки:
$6 \cdot (2x + 3y)$

Ответ: Распределительное свойство умножения в том виде, как оно применяется для вынесения общего множителя за скобки, записывается следующим образом:
$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$
$a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$

Покажите на примере выражения $8bc + 10ac$, как вынести общий множитель за скобки (фрагмент 1).

Чтобы вынести общий множитель за скобки в выражении $8bc + 10ac$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов.

   Коэффициенты в данном выражении — это 8 и 10. Найдем их НОД.

   Разложим числа 8 и 10 на простые множители:
   $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$
   $10 = 2 \cdot 5$

   Общим множителем является 2. Таким образом, НОД(8, 10) = 2.

2. Найти общие переменные для каждого слагаемого.

   Первое слагаемое $8bc$ содержит переменные $b$ и $c$.

   Второе слагаемое $10ac$ содержит переменные $a$ и $c$.

   Общей для обоих слагаемых является переменная $c$.

3. Сформировать общий множитель.

   Общий множитель для всего выражения — это произведение НОД коэффициентов и общих переменных. В нашем случае это $2 \cdot c = 2c$.

4. Вынести общий множитель за скобки.

   Для этого нужно разделить каждое слагаемое исходного выражения на найденный общий множитель $2c$. Результаты деления записываются в скобках.

   $8bc + 10ac = 2c \cdot (\frac{8bc}{2c} + \frac{10ac}{2c})$

   Выполняем деление каждого члена в скобках:
   $\frac{8bc}{2c} = 4b$
   $\frac{10ac}{2c} = 5a$

   Теперь подставляем полученные выражения в скобки:

   $8bc + 10ac = 2c(4b + 5a)$

Для проверки можно выполнить обратное действие — раскрыть скобки: $2c(4b + 5a) = 2c \cdot 4b + 2c \cdot 5a = 8bc + 10ac$. Так как мы получили исходное выражение, вынесение общего множителя выполнено верно.

Ответ: $2c(4b + 5a)$

Объясните, как сократить дробь $\frac{ax+ay}{bx+by}$ (в качестве образца воспользуйтесь примером 2 из текста, фрагмент 2).

Для того чтобы сократить дробь $\frac{ax+ay}{bx+by}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель. Это делается для того, чтобы найти общие множители, на которые можно будет сократить дробь.

Сначала рассмотрим числитель: $ax+ay$. В обоих слагаемых ($ax$ и $ay$) есть общий множитель $a$. Вынесем его за скобки, применяя распределительный закон:

$ax+ay = a(x+y)$

Теперь рассмотрим знаменатель: $bx+by$. В обоих слагаемых ($bx$ и $by$) есть общий множитель $b$. Аналогично вынесем его за скобки:

$bx+by = b(x+y)$

После вынесения общих множителей за скобки в числителе и знаменателе, исходная дробь примет следующий вид:

$\frac{ax+ay}{bx+by} = \frac{a(x+y)}{b(x+y)}$

Теперь видно, что и в числителе, и в знаменателе есть общий множитель — это выражение в скобках $(x+y)$. Согласно основному свойству дроби, мы можем разделить числитель и знаменатель на этот общий множитель (при условии, что он не равен нулю, то есть $x+y \neq 0$).

Выполняем сокращение:

$\frac{a\cdot(x+y)}{b\cdot(x+y)} = \frac{a}{b}$

В результате сокращения мы получили дробь $\frac{a}{b}$.

Ответ: $\frac{a}{b}$