Страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

807 Телевизионный экран имеет прямоугольную форму. Одна из его сторон на 6 см меньше другой. Если меньшую сторону увеличить на 1 см, а большую — на 2 см, то площадь изображения увеличится на $65 \text{ см}^2$. Найдите первоначальные размеры телевизионного экрана.

Пусть $x$ см — большая сторона прямоугольного экрана. Из условия задачи следует, что меньшая сторона на 6 см меньше, то есть ее длина составляет $(x - 6)$ см.
Первоначальная площадь экрана $S_1$ равна произведению его сторон:
$S_1 = x \cdot (x - 6)$ см².

Далее, меньшую сторону увеличили на 1 см, а большую — на 2 см. Новые размеры сторон стали:
Новая меньшая сторона: $(x - 6) + 1 = (x - 5)$ см.
Новая большая сторона: $(x + 2)$ см.

Площадь изображения после увеличения сторон $S_2$ стала:
$S_2 = (x + 2) \cdot (x - 5)$ см².

Известно, что площадь увеличилась на 65 см². Это означает, что разница между новой и первоначальной площадями равна 65:
$S_2 - S_1 = 65$
Подставим выражения для площадей и составим уравнение:
$(x + 2)(x - 5) - x(x - 6) = 65$

Решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки:
$(x^2 - 5x + 2x - 10) - (x^2 - 6x) = 65$
$x^2 - 3x - 10 - x^2 + 6x = 65$

Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-3x + 6x) - 10 = 65$
$3x - 10 = 65$

Перенесем свободные члены в правую часть уравнения:
$3x = 65 + 10$
$3x = 75$

Найдем $x$:
$x = \frac{75}{3}$
$x = 25$

Итак, большая сторона экрана равна 25 см.
Теперь найдем меньшую сторону:
$x - 6 = 25 - 6 = 19$ см.

Первоначальные размеры экрана — 25 см и 19 см.

Ответ: первоначальные размеры телевизионного экрана равны 19 см и 25 см.

808 Если каждую из сторон земельного участка, имеющего форму квадрата, уменьшить на 3 м, то получится участок, площадь которого будет меньше площади исходного участка на 81 $ \text{м}^2 $. Найдите площадь нового участка.

Пусть сторона исходного земельного участка, имеющего форму квадрата, равна $x$ метров. Тогда его площадь $S_{исх}$ составляет $x^2$ м$^2$.

После того как каждую сторону уменьшили на 3 метра, сторона нового участка стала равна $(x - 3)$ м. Соответственно, площадь нового участка $S_{нов}$ стала равна $(x - 3)^2$ м$^2$.

Из условия задачи известно, что площадь нового участка меньше площади исходного на 81 м$^2$. Это можно записать в виде уравнения:

$S_{исх} - S_{нов} = 81$

Подставим выражения для площадей в уравнение:

$x^2 - (x - 3)^2 = 81$

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$x^2 - (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) = 81$

$x^2 - (x^2 - 6x + 9) = 81$

$x^2 - x^2 + 6x - 9 = 81$

Приведем подобные слагаемые:

$6x - 9 = 81$

Перенесем -9 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$6x = 81 + 9$

$6x = 90$

Найдем $x$:

$x = \frac{90}{6}$

$x = 15$

Таким образом, мы нашли длину стороны исходного участка — она равна 15 м.

В задаче требуется найти площадь нового участка. Сначала найдем длину его стороны:

$15 - 3 = 12$ м.

Теперь вычислим площадь нового участка:

$S_{нов} = 12^2 = 144$ м$^2$.

Проверим решение: площадь исходного участка $15^2 = 225$ м$^2$. Разница площадей $225 - 144 = 81$ м$^2$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 144 м$^2$.

809 Периметр прямоугольника равен 38 см. Если одну из его сторон увеличить на 5 см, а другую уменьшить на 3 см, то площадь полученного прямоугольника будет больше площади данного прямоугольника на 16 см$^{2}$. Найдите стороны данного прямоугольника.

Обозначим стороны исходного прямоугольника как a и b.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию, периметр равен 38 см. Составим первое уравнение:
$2(a + b) = 38$
$a + b = 19$

Площадь исходного прямоугольника равна $S_1 = a \cdot b$.

Далее, одну из сторон увеличивают на 5 см, а другую уменьшают на 3 см. Пусть новые стороны будут $(a + 5)$ см и $(b - 3)$ см. Площадь нового прямоугольника будет равна $S_2 = (a + 5)(b - 3)$.

По условию, площадь нового прямоугольника на 16 см² больше площади исходного. Это можно записать как $S_2 = S_1 + 16$. Составим второе уравнение:
$(a + 5)(b - 3) = ab + 16$

Теперь решим полученную систему уравнений. Сначала упростим второе уравнение, раскрыв скобки:
$ab - 3a + 5b - 15 = ab + 16$
Вычтем $ab$ из обеих частей уравнения:
$-3a + 5b - 15 = 16$
Перенесем свободный член в правую часть:
$5b - 3a = 16 + 15$
$5b - 3a = 31$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} a + b = 19 \\ 5b - 3a = 31 \end{cases}$

Выразим переменную a из первого уравнения:
$a = 19 - b$

Подставим это выражение для a во второе уравнение и решим его относительно b:
$5b - 3(19 - b) = 31$
$5b - 57 + 3b = 31$
$8b = 31 + 57$
$8b = 88$
$b = 11$

Теперь найдем значение a, подставив найденное значение b в выражение $a = 19 - b$:
$a = 19 - 11$
$a = 8$

Таким образом, стороны данного прямоугольника равны 8 см и 11 см.

Проверим решение.
Периметр: $2(8 + 11) = 2 \cdot 19 = 38$ см.
Исходная площадь: $S_1 = 8 \cdot 11 = 88$ см².
Новые стороны (увеличим одну на 5, другую уменьшим на 3): $8+5=13$ см и $11-3=8$ см.
Новая площадь: $S_2 = 13 \cdot 8 = 104$ см².
Разница площадей: $S_2 - S_1 = 104 - 88 = 16$ см².
Все условия задачи выполнены.

Ответ: стороны данного прямоугольника равны 8 см и 11 см.

810 В классе число отсутствующих учеников составляет пятую часть от числа присутствующих. После того как из класса вышел один ученик, число отсутствующих стало равно четверти числа присутствующих. Сколько учеников в классе?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $П$ — первоначальное число присутствующих учеников, а $О$ — первоначальное число отсутствующих учеников.

Из условия задачи известно, что число отсутствующих учеников составляет пятую часть от числа присутствующих. Это можно записать как первое уравнение:

$О = \frac{1}{5} П$

Далее, из класса вышел один ученик. Это значит, что он перешел из группы присутствующих в группу отсутствующих. Следовательно, число присутствующих стало $П - 1$, а число отсутствующих стало $О + 1$.

По новому условию, число отсутствующих стало равно четверти числа присутствующих. Составим второе уравнение:

$О + 1 = \frac{1}{4} (П - 1)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $О$ из первого уравнения во второе:

$\frac{1}{5} П + 1 = \frac{1}{4} (П - 1)$

Чтобы решить это уравнение, избавимся от дробей. Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 4, то есть на 20:

$20 \cdot (\frac{1}{5} П + 1) = 20 \cdot \frac{1}{4} (П - 1)$

$4П + 20 = 5(П - 1)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$4П + 20 = 5П - 5$

Перенесем слагаемые с переменной $П$ в правую часть, а числовые значения — в левую:

$20 + 5 = 5П - 4П$

$П = 25$

Мы нашли первоначальное число присутствующих учеников — их было 25.

Теперь найдем первоначальное число отсутствующих учеников, используя первое уравнение:

$О = \frac{1}{5} \cdot 25 = 5$

Общее число учеников в классе — это сумма присутствующих и отсутствующих. Это количество постоянно, так как ученик не покинул школу, а лишь вышел из класса.

Всего учеников = $П + О = 25 + 5 = 30$

Проверим полученный результат. Изначально: 25 присутствуют, 5 отсутствуют. Отношение $5/25 = 1/5$, что соответствует условию. После того, как один ученик вышел: 24 присутствуют, 6 отсутствуют. Отношение $6/24 = 1/4$, что также соответствует условию. Все верно.

Ответ: 30 учеников.

1 Приведите пример одночлена стандартного вида. Чему равен его коэф-фициент?

Одночлен стандартного вида — это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение числового множителя (коэффициента) и одной или нескольких переменных, каждая из которых взята в натуральной степени. В стандартной записи одночлена числовой множитель стоит на первом месте, а каждая переменная встречается только один раз.

Приведем пример такого одночлена: $12a^3b^4$.

Этот одночлен записан в стандартном виде, потому что:

• Он имеет единственный числовой множитель (коэффициент) — $12$.
• Этот коэффициент стоит на первом месте.
• Каждая переменная ($a$ и $b$) встречается в записи только один раз со своей степенью.

Коэффициент одночлена — это его числовой множитель. Для нашего примера $12a^3b^4$ коэффициент равен $12$.

Другой пример: $-0.5xy^2$. Это также одночлен стандартного вида, и его коэффициент равен $-0.5$. Если одночлен состоит только из переменных, например $x^2y$, его коэффициент считается равным $1$. Для одночлена $-c^5$ коэффициент равен $-1$.

Ответ: Пример одночлена стандартного вида: $12a^3b^4$. Его коэффициент равен $12$.

2 Какое выражение называют многочленом? Приведите пример двучлена; трехчлена.

Многочлен

Многочленом называют алгебраическую сумму одночленов. Одночлен — это выражение, которое представляет собой произведение числового коэффициента, одной или нескольких переменных и их натуральных степеней. Любое число, переменная или её степень также являются одночленами.

Ответ: Многочлен — это сумма одночленов.

Двучлен

Двучлен (или бином) — это многочлен, состоящий из двух членов (одночленов). Эти члены соединены знаком сложения или вычитания.

Ответ: $7a - 3b$.

Трехчлен

Трехчлен (или трином) — это многочлен, состоящий из трёх членов (одночленов), соединенных знаками сложения или вычитания. Классическим примером является квадратный трехчлен.

Ответ: $x^2 + 2x + 1$.

3 На примере многочлена $5xy^2 - x^2y - 2xy \cdot 3y + 7x^2y$ объясните, как приводят многочлен к стандартному виду.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо выполнить два последовательных действия: привести все его члены к стандартному виду и затем выполнить приведение подобных членов. Рассмотрим этот процесс на примере многочлена $5xy^2 - x^2y - 2xy \cdot 3y + 7x^2y$.

Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя (коэффициента), стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. В данном многочлене $5xy^2 - x^2y - 2xy \cdot 3y + 7x^2y$ три из четырех членов ($5xy^2$, $-x^2y$, $7x^2y$) уже представлены в стандартном виде.

Член $-2xy \cdot 3y$ не находится в стандартном виде, так как он содержит два числовых множителя ($-2$ и $3$) и переменную $y$ в первой степени в двух местах. Упростим его, перемножив коэффициенты и степени переменных отдельно:

$-2xy \cdot 3y = (-2 \cdot 3) \cdot x \cdot (y \cdot y) = -6xy^2$

Теперь наш многочлен выглядит так:

$5xy^2 - x^2y - 6xy^2 + 7x^2y$

Подобные члены — это слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть. В полученном многочлене $5xy^2 - x^2y - 6xy^2 + 7x^2y$ есть две группы подобных членов:

1) $5xy^2$ и $-6xy^2$ (общая буквенная часть $xy^2$).

2) $-x^2y$ и $7x^2y$ (общая буквенная часть $x^2y$).

Чтобы привести подобные члены, нужно сложить их числовые коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Складываем первую группу:

$5xy^2 - 6xy^2 = (5 - 6)xy^2 = -1 \cdot xy^2 = -xy^2$

Складываем вторую группу (учитывая, что коэффициент члена $-x^2y$ равен $-1$):

$-x^2y + 7x^2y = (-1 + 7)x^2y = 6x^2y$

Теперь запишем полученные результаты в виде суммы. Это и будет стандартный вид исходного многочлена. Для упорядочивания принято располагать члены по убыванию степеней одной из переменных, например, $x$.

$6x^2y - xy^2$

Ответ: Чтобы привести многочлен $5xy^2 - x^2y - 2xy \cdot 3y + 7x^2y$ к стандартному виду, сначала каждый его член приводят к стандартному виду (так, $-2xy \cdot 3y$ становится $-6xy^2$), получая $5xy^2 - x^2y - 6xy^2 + 7x^2y$. Затем находят и складывают подобные члены: $5xy^2 - 6xy^2 = -xy^2$ и $-x^2y + 7x^2y = 6x^2y$. В результате стандартный вид многочлена: $6x^2y - xy^2$.

4 На примере многочленов $3x^2 - 8x + 4$ и $2x^2 + 6x - 3$ покажите, как находят сумму и разность многочленов.

Даны два многочлена: $3x^2 - 8x + 4$ и $2x^2 + 6x - 3$.

Сумма многочленов

Чтобы найти сумму многочленов, нужно сложить их. Для этого запишем сумму, заключив каждый многочлен в скобки, и раскроем их. Поскольку перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых не меняются.

$(3x^2 - 8x + 4) + (2x^2 + 6x - 3) = 3x^2 - 8x + 4 + 2x^2 + 6x - 3$

Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой переменной в одинаковой степени):

$(3x^2 + 2x^2) + (-8x + 6x) + (4 - 3)$

Теперь выполним действия в каждой группе:

$5x^2 - 2x + 1$

Результат сложения — это новый многочлен.

Ответ: $5x^2 - 2x + 1$

Разность многочленов

Чтобы найти разность многочленов, нужно из первого многочлена вычесть второй. Запишем разность, также используя скобки. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри этих скобок меняются на противоположные.

$(3x^2 - 8x + 4) - (2x^2 + 6x - 3) = 3x^2 - 8x + 4 - 2x^2 - 6x + 3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 2x^2) + (-8x - 6x) + (4 + 3)$

Выполним действия в каждой группе:

$x^2 - 14x + 7$

Полученный многочлен является разностью исходных.

Ответ: $x^2 - 14x + 7$

5 Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен и примените его к выражению $2ab(4a - 5b - 1)$.

Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения алгебраически сложить (то есть учесть знаки + или -). Это правило основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения и вычитания: $a \cdot (b + c - d) = a \cdot b + a \cdot c - a \cdot d$.

Примените его к выражению $2ab(4a - 5b - 1)$

Для того чтобы раскрыть скобки в выражении $2ab(4a - 5b - 1)$, мы применим сформулированное выше правило. Одночлен $2ab$ нужно умножить на каждый член многочлена, стоящего в скобках: $4a$, $-5b$ и $-1$.

1. Умножаем одночлен $2ab$ на первый член многочлена $4a$:
$2ab \cdot 4a = (2 \cdot 4) \cdot (a \cdot a) \cdot b = 8a^2b$

2. Умножаем одночлен $2ab$ на второй член многочлена $-5b$:
$2ab \cdot (-5b) = (2 \cdot -5) \cdot a \cdot (b \cdot b) = -10ab^2$

3. Умножаем одночлен $2ab$ на третий член многочлена $-1$:
$2ab \cdot (-1) = -2ab$

4. Теперь складываем полученные произведения:
$8a^2b + (-10ab^2) + (-2ab) = 8a^2b - 10ab^2 - 2ab$

В полученном многочлене нет подобных слагаемых, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $8a^2b - 10ab^2 - 2ab$

6 Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен и примените его к выражению $(4x - 3y)(2y + x)$.

Правило умножения многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а затем сложить полученные произведения.

В общем виде для двух двучленов правило можно записать так: $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.

Применение правила к выражению $(4x - 3y)(2y + x)$

Воспользуемся сформулированным правилом. Умножим каждый член многочлена $(4x - 3y)$ на каждый член многочлена $(2y + x)$.

1. Первым шагом выполним почленное умножение:

$(4x - 3y)(2y + x) = 4x \cdot 2y + 4x \cdot x + (-3y) \cdot 2y + (-3y) \cdot x$

2. Вычислим полученные произведения:

$8xy + 4x^2 - 6y^2 - 3xy$

3. Приведем подобные слагаемые. В данном выражении подобными являются $8xy$ и $-3xy$. Сгруппируем их и выполним сложение:

$4x^2 + (8xy - 3xy) - 6y^2$

4. Получим окончательный результат в стандартном виде:

$4x^2 + 5xy - 6y^2$

Ответ: $4x^2 + 5xy - 6y^2$

7 Напишите формулы квадрата суммы и квадрата разности и докажите их.

Квадрат суммы

Формула квадрата суммы двух выражений $a$ и $b$ выглядит следующим образом:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Словесно эта формула читается так: квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Доказательство:

Для доказательства представим квадрат суммы в виде произведения двух одинаковых скобок и раскроем их, используя правило умножения многочленов (распределительный закон):

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$

$(a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ba + b^2$

Поскольку от перемены мест множителей произведение не меняется (коммутативный закон умножения), то $ab = ba$. Приведем подобные слагаемые:

$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, тождество доказано: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Ответ: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Квадрат разности

Формула квадрата разности двух выражений $a$ и $b$ выглядит следующим образом:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Словесно эта формула читается так: квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Доказательство:

Доказательство аналогично предыдущему. Представим квадрат разности как произведение и раскроем скобки:

$(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$

$(a - b)(a - b) = a \cdot a + a \cdot (-b) + (-b) \cdot a + (-b) \cdot (-b) = a^2 - ab - ba + b^2$

Приведем подобные слагаемые, учитывая, что $ab = ba$:

$a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, тождество доказано. Также можно доказать эту формулу, используя уже доказанную формулу квадрата суммы, представив разность $a - b$ как сумму $a + (-b)$:

$(a - b)^2 = (a + (-b))^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Ответ: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$