Номер 809, страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 7. Многочлены - номер 809, страница 222.

809 Периметр прямоугольника равен 38 см. Если одну из его сторон увеличить на 5 см, а другую уменьшить на 3 см, то площадь полученного прямоугольника будет больше площади данного прямоугольника на 16 см$^{2}$. Найдите стороны данного прямоугольника.

Обозначим стороны исходного прямоугольника как a и b.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию, периметр равен 38 см. Составим первое уравнение:
$2(a + b) = 38$
$a + b = 19$

Площадь исходного прямоугольника равна $S_1 = a \cdot b$.

Далее, одну из сторон увеличивают на 5 см, а другую уменьшают на 3 см. Пусть новые стороны будут $(a + 5)$ см и $(b - 3)$ см. Площадь нового прямоугольника будет равна $S_2 = (a + 5)(b - 3)$.

По условию, площадь нового прямоугольника на 16 см² больше площади исходного. Это можно записать как $S_2 = S_1 + 16$. Составим второе уравнение:
$(a + 5)(b - 3) = ab + 16$

Теперь решим полученную систему уравнений. Сначала упростим второе уравнение, раскрыв скобки:
$ab - 3a + 5b - 15 = ab + 16$
Вычтем $ab$ из обеих частей уравнения:
$-3a + 5b - 15 = 16$
Перенесем свободный член в правую часть:
$5b - 3a = 16 + 15$
$5b - 3a = 31$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} a + b = 19 \\ 5b - 3a = 31 \end{cases}$

Выразим переменную a из первого уравнения:
$a = 19 - b$

Подставим это выражение для a во второе уравнение и решим его относительно b:
$5b - 3(19 - b) = 31$
$5b - 57 + 3b = 31$
$8b = 31 + 57$
$8b = 88$
$b = 11$

Теперь найдем значение a, подставив найденное значение b в выражение $a = 19 - b$:
$a = 19 - 11$
$a = 8$

Таким образом, стороны данного прямоугольника равны 8 см и 11 см.

Проверим решение.
Периметр: $2(8 + 11) = 2 \cdot 19 = 38$ см.
Исходная площадь: $S_1 = 8 \cdot 11 = 88$ см².
Новые стороны (увеличим одну на 5, другую уменьшим на 3): $8+5=13$ см и $11-3=8$ см.
Новая площадь: $S_2 = 13 \cdot 8 = 104$ см².
Разница площадей: $S_2 - S_1 = 104 - 88 = 16$ см².
Все условия задачи выполнены.

Ответ: стороны данного прямоугольника равны 8 см и 11 см.