Номер 3, страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 7. Многочлены - номер 3, страница 222.

3 На примере многочлена $5xy^2 - x^2y - 2xy \cdot 3y + 7x^2y$ объясните, как приводят многочлен к стандартному виду.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо выполнить два последовательных действия: привести все его члены к стандартному виду и затем выполнить приведение подобных членов. Рассмотрим этот процесс на примере многочлена $5xy^2 - x^2y - 2xy \cdot 3y + 7x^2y$.

1. Приведение каждого члена многочлена к стандартному виду

Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя (коэффициента), стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. В данном многочлене $5xy^2 - x^2y - 2xy \cdot 3y + 7x^2y$ три из четырех членов ($5xy^2$, $-x^2y$, $7x^2y$) уже представлены в стандартном виде.

Член $-2xy \cdot 3y$ не находится в стандартном виде, так как он содержит два числовых множителя ($-2$ и $3$) и переменную $y$ в первой степени в двух местах. Упростим его, перемножив коэффициенты и степени переменных отдельно:

$-2xy \cdot 3y = (-2 \cdot 3) \cdot x \cdot (y \cdot y) = -6xy^2$

Теперь наш многочлен выглядит так:

$5xy^2 - x^2y - 6xy^2 + 7x^2y$

2. Приведение подобных членов

Подобные члены — это слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть. В полученном многочлене $5xy^2 - x^2y - 6xy^2 + 7x^2y$ есть две группы подобных членов:

1) $5xy^2$ и $-6xy^2$ (общая буквенная часть $xy^2$).

2) $-x^2y$ и $7x^2y$ (общая буквенная часть $x^2y$).

Чтобы привести подобные члены, нужно сложить их числовые коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Складываем первую группу:

$5xy^2 - 6xy^2 = (5 - 6)xy^2 = -1 \cdot xy^2 = -xy^2$

Складываем вторую группу (учитывая, что коэффициент члена $-x^2y$ равен $-1$):

$-x^2y + 7x^2y = (-1 + 7)x^2y = 6x^2y$

Теперь запишем полученные результаты в виде суммы. Это и будет стандартный вид исходного многочлена. Для упорядочивания принято располагать члены по убыванию степеней одной из переменных, например, $x$.

$6x^2y - xy^2$

Ответ: Чтобы привести многочлен $5xy^2 - x^2y - 2xy \cdot 3y + 7x^2y$ к стандартному виду, сначала каждый его член приводят к стандартному виду (так, $-2xy \cdot 3y$ становится $-6xy^2$), получая $5xy^2 - x^2y - 6xy^2 + 7x^2y$. Затем находят и складывают подобные члены: $5xy^2 - 6xy^2 = -xy^2$ и $-x^2y + 7x^2y = 6x^2y$. В результате стандартный вид многочлена: $6x^2y - xy^2$.