Номер 806, страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 7. Многочлены - номер 806, страница 221.

806 Высота двери на 30 см больше, чем её удвоенная ширина. Чтобы вставить дверь в дверной проём, её сделали короче на 10 см и уже на 5 см. При этом площадь обрезков составила 1900 см². Определите первоначальные размеры двери.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $w$ — первоначальная ширина двери в см, а $h$ — первоначальная высота двери в см.

Согласно первому условию, "высота двери на 30 см больше, чем её удвоенная ширина". Запишем это в виде уравнения:
$h = 2w + 30$

Дверь сделали короче на 10 см и уже на 5 см. Новые размеры двери стали:
Новая высота: $h_{нов} = h - 10$
Новая ширина: $w_{нов} = w - 5$

Площадь обрезков — это разница между первоначальной площадью ($S = h \cdot w$) и новой площадью ($S_{нов} = (h - 10)(w - 5)$). По условию, площадь обрезков составила 1900 см². Составим второе уравнение:
$S - S_{нов} = 1900$
$h \cdot w - (h - 10)(w - 5) = 1900$

Упростим это уравнение. Сначала раскроем скобки:
$hw - (hw - 5h - 10w + 50) = 1900$
$hw - hw + 5h + 10w - 50 = 1900$
Приведем подобные слагаемые:
$5h + 10w = 1900 + 50$
$5h + 10w = 1950$
Для удобства разделим обе части уравнения на 5:
$h + 2w = 390$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $h = 2w + 30$
2) $h + 2w = 390$

Подставим выражение для $h$ из первого уравнения во второе:
$(2w + 30) + 2w = 390$
Решим полученное уравнение:
$4w + 30 = 390$
$4w = 360$
$w = \frac{360}{4}$
$w = 90$
Таким образом, первоначальная ширина двери равна 90 см.

Теперь найдём первоначальную высоту, подставив найденное значение $w$ в первое уравнение:
$h = 2 \cdot 90 + 30$
$h = 180 + 30$
$h = 210$
Таким образом, первоначальная высота двери равна 210 см.

Ответ: первоначальная ширина двери 90 см, первоначальная высота 210 см.