Страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

764 а) Площадь квадрата равна площади прямоугольника, одна из сторон которого на $1 \text{ см}$ меньше стороны квадрата, а другая на $2 \text{ см}$ больше стороны квадрата. Найдите длину стороны квадрата и длины сторон прямоугольника.

б) Площадь квадрата на $63 \text{ см}^2$ больше площади прямоугольника. Одна из сторон прямоугольника на $3 \text{ см}$ больше, а другая на $6 \text{ см}$ меньше стороны квадрата. Найдите площадь квадрата.

а)

Пусть $x$ см – длина стороны квадрата. Тогда его площадь равна $S_{кв} = x^2$ см$^2$.
Согласно условию, одна сторона прямоугольника на 1 см меньше стороны квадрата, то есть ее длина составляет $(x - 1)$ см. Другая сторона на 2 см больше стороны квадрата, ее длина – $(x + 2)$ см.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $S_{пр} = (x - 1)(x + 2)$ см$^2$.
По условию задачи площади квадрата и прямоугольника равны. Составим и решим уравнение:
$x^2 = (x - 1)(x + 2)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$x^2 = x \cdot x + 2 \cdot x - 1 \cdot x - 1 \cdot 2$
$x^2 = x^2 + 2x - x - 2$
$x^2 = x^2 + x - 2$
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа – в другую:
$x^2 - x^2 - x = -2$
$-x = -2$
$x = 2$
Таким образом, длина стороны квадрата равна 2 см.
Теперь найдем длины сторон прямоугольника:
Первая сторона: $x - 1 = 2 - 1 = 1$ см.
Вторая сторона: $x + 2 = 2 + 2 = 4$ см.
Проверка: площадь квадрата $2^2 = 4$ см$^2$. Площадь прямоугольника $1 \cdot 4 = 4$ см$^2$. Площади равны.

Ответ: длина стороны квадрата – 2 см, длины сторон прямоугольника – 1 см и 4 см.

б)

Пусть $x$ см – длина стороны квадрата. Тогда его площадь равна $S_{кв} = x^2$ см$^2$.
По условию, одна сторона прямоугольника на 3 см больше стороны квадрата, то есть ее длина составляет $(x + 3)$ см. Другая сторона на 6 см меньше стороны квадрата, ее длина – $(x - 6)$ см. Важно отметить, что сторона должна иметь положительную длину, поэтому $x - 6 > 0$, то есть $x > 6$.
Площадь прямоугольника равна $S_{пр} = (x + 3)(x - 6)$ см$^2$.
По условию, площадь квадрата на 63 см$^2$ больше площади прямоугольника. Это означает, что $S_{кв} - S_{пр} = 63$. Составим и решим уравнение:
$x^2 - (x + 3)(x - 6) = 63$
Раскроем скобки:
$x^2 - (x^2 - 6x + 3x - 18) = 63$
$x^2 - (x^2 - 3x - 18) = 63$
$x^2 - x^2 + 3x + 18 = 63$
$3x + 18 = 63$
$3x = 63 - 18$
$3x = 45$
$x = \frac{45}{3}$
$x = 15$
Длина стороны квадрата равна 15 см. Это удовлетворяет условию $x > 6$.
Нас просят найти площадь квадрата.
$S_{кв} = x^2 = 15^2 = 225$ см$^2$.

Ответ: площадь квадрата равна 225 см$^2$.

765 а) Пекарня использует для выпечки тортов формы двух видов, имеющие одинаковую площадь дна. У одной из них дно квадратное, а у другой — прямоугольное. Длина прямоугольной формы на 8 см больше, а ширина на 6 см меньше, чем сторона квадратной формы. Найдите размеры дна каждой формы.

б) Под строительство был отведён участок земли, имеющий форму квадрата. Площадь этого участка пришлось увеличить на 830 $m^2$. Для этого одну из сторон первоначального участка увеличили на 4 м, а другую — на 5 м и получили новый участок прямоугольной формы. Чему была равна площадь первоначального участка?

а)

Пусть сторона дна квадратной формы равна $x$ см. Тогда площадь дна этой формы составляет $S_{кв} = x^2$ см².
Согласно условию, длина прямоугольной формы на 8 см больше стороны квадратной, то есть равна $(x + 8)$ см.
Ширина прямоугольной формы на 6 см меньше стороны квадратной, то есть равна $(x - 6)$ см.
Площадь дна прямоугольной формы составляет $S_{пр} = (x + 8)(x - 6)$ см².
Так как площади дна обеих форм одинаковы ($S_{кв} = S_{пр}$), мы можем составить уравнение:

$x^2 = (x + 8)(x - 6)$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя правило умножения многочленов:
$x^2 = x^2 - 6x + 8x - 48$

Приведем подобные слагаемые:
$x^2 = x^2 + 2x - 48$

Теперь перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы решить уравнение:
$x^2 - x^2 - 2x + 48 = 0$
$-2x + 48 = 0$
$48 = 2x$
$x = \frac{48}{2}$
$x = 24$

Таким образом, сторона дна квадратной формы равна 24 см.
Теперь найдем размеры дна прямоугольной формы:
Длина: $x + 8 = 24 + 8 = 32$ см.
Ширина: $x - 6 = 24 - 6 = 18$ см.
Проверка: площадь квадратной формы $24^2 = 576$ см². Площадь прямоугольной формы $32 \times 18 = 576$ см². Площади равны, что соответствует условию задачи.

Ответ: размеры дна квадратной формы — 24 см на 24 см; размеры дна прямоугольной формы — 32 см на 18 см.

б)

Пусть сторона первоначального квадратного участка земли равна $a$ м. Тогда его площадь равна $S_1 = a^2$ м².
После изменений одну сторону участка увеличили на 4 м, и ее длина стала $(a + 4)$ м.
Другую сторону увеличили на 5 м, и ее длина стала $(a + 5)$ м.
Получился новый участок прямоугольной формы, его площадь равна $S_2 = (a + 4)(a + 5)$ м².
Известно, что площадь участка увеличилась на 830 м². Это значит, что новая площадь $S_2$ больше первоначальной площади $S_1$ на 830 м²:
$S_2 = S_1 + 830$

Подставим выражения для площадей и составим уравнение:
$(a + 4)(a + 5) = a^2 + 830$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$a^2 + 5a + 4a + 20 = a^2 + 830$

Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 9a + 20 = a^2 + 830$

Вычтем $a^2$ из обеих частей уравнения:
$9a + 20 = 830$

Решим полученное линейное уравнение относительно $a$:
$9a = 830 - 20$
$9a = 810$
$a = \frac{810}{9}$
$a = 90$

Мы нашли длину стороны первоначального квадратного участка, она равна 90 м.
В задаче требуется найти площадь первоначального участка. Вычислим ее:
$S_1 = a^2 = 90^2 = 8100$ м².

Ответ: площадь первоначального участка была равна 8100 м².

Решите задачу (766–767).

766 a) Через 3 дня после того, как Пётр начал читать книгу, эту же книгу начал читать Алексей. Закончили чтение они одновременно. Пётр прочитывал по 10 страниц в день, а Алексей — по 16 страниц в день. Сколько страниц в книге?

б) Два студента взялись набрать рукопись, разделив её между собой на две равные части. Через 4 дня после того, как первый начал работу, к работе приступил второй. Закончили они работу одновременно. Первый студент набирал по 24 страницы в день, а второй — по 40 страниц. Сколько дней работал каждый студент и сколько страниц они набрали вместе?

а)

Пусть $x$ — это количество дней, в течение которых Алексей читал книгу. Поскольку Пётр начал читать на 3 дня раньше и они закончили одновременно, то Пётр читал $x + 3$ дня. Скорость чтения Петра — 10 страниц в день, а Алексея — 16 страниц в день. Так как они читали одну и ту же книгу, общее количество прочитанных страниц у них одинаково. Составим и решим уравнение:

$10 \cdot (x + 3) = 16 \cdot x$

$10x + 30 = 16x$

$16x - 10x = 30$

$6x = 30$

$x = \frac{30}{6}$

$x = 5$

Таким образом, Алексей читал книгу 5 дней. Чтобы найти общее количество страниц в книге, можно умножить скорость чтения любого из них на время его чтения. Например, для Алексея:

$16 \text{ страниц/день} \times 5 \text{ дней} = 80 \text{ страниц}$.

Проверим по данным Петра. Он читал $5 + 3 = 8$ дней:

$10 \text{ страниц/день} \times 8 \text{ дней} = 80 \text{ страниц}$.

Результаты совпадают.

Ответ: в книге 80 страниц.

б)

Пусть $x$ — это количество дней, которые работал второй студент. Первый студент начал работать на 4 дня раньше и они закончили одновременно, значит, он работал $x + 4$ дня. Первый студент набирал по 24 страницы в день, а второй — по 40. По условию, они разделили рукопись на две равные части, следовательно, каждый из них набрал одинаковое количество страниц. Составим и решим уравнение:

$24 \cdot (x + 4) = 40 \cdot x$

$24x + 96 = 40x$

$40x - 24x = 96$

$16x = 96$

$x = \frac{96}{16}$

$x = 6$

Итак, второй студент работал 6 дней. Первый студент работал $x + 4 = 6 + 4 = 10$ дней.

Теперь найдем, сколько страниц они набрали вместе. Сначала посчитаем объем работы каждого:

Работа первого студента: $24 \text{ стр/день} \times 10 \text{ дней} = 240$ страниц.

Работа второго студента: $40 \text{ стр/день} \times 6 \text{ дней} = 240$ страниц.

Общее количество страниц в рукописи: $240 + 240 = 480$ страниц.

Ответ: первый студент работал 10 дней, второй — 6 дней; вместе они набрали 480 страниц.

767 a) Щенку 37 дней, а котёнку 7 дней. Через сколько дней щенок станет в 3 раза старше котёнка?

б) Два года назад брат был младше сестры в 3 раза, а сейчас он младше сестры в 2 раза. Сколько сейчас лет брату и сколько сестре?

а)

Пусть $x$ — это количество дней, через которое щенок станет в 3 раза старше котёнка.
Возраст щенка через $x$ дней будет равен $37 + x$.
Возраст котёнка через $x$ дней будет равен $7 + x$.
Согласно условию задачи, возраст щенка должен стать в 3 раза больше возраста котёнка. Можем составить уравнение:
$37 + x = 3 \cdot (7 + x)$
Теперь решим это уравнение:
$37 + x = 21 + 3x$
Перенесём все слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:
$37 - 21 = 3x - x$
$16 = 2x$
$x = \frac{16}{2}$
$x = 8$
Проверим: через 8 дней щенку будет $37 + 8 = 45$ дней, а котёнку $7 + 8 = 15$ дней. $45$ действительно в 3 раза больше, чем $15$ ($15 \cdot 3 = 45$).
Ответ: щенок станет в 3 раза старше котёнка через 8 дней.

б)

Пусть $б$ — это текущий возраст брата, а $с$ — это текущий возраст сестры.
Из условия, что сейчас брат младше сестры в 2 раза, следует, что возраст сестры в 2 раза больше возраста брата. Запишем это в виде уравнения:
$с = 2б$
Два года назад возраст брата был $б - 2$ лет, а возраст сестры был $с - 2$ лет.
По условию, два года назад брат был младше сестры в 3 раза. Составим второе уравнение:
$с - 2 = 3 \cdot (б - 2)$
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$ \begin{cases} с = 2б \\ с - 2 = 3(б - 2) \end{cases} $
Подставим выражение для $с$ из первого уравнения во второе:
$2б - 2 = 3(б - 2)$
Раскроем скобки:
$2б - 2 = 3б - 6$
Перенесём члены с $б$ в правую часть, а числа — в левую:
$6 - 2 = 3б - 2б$
$4 = б$
Итак, мы нашли, что брату сейчас 4 года.
Теперь найдём возраст сестры, используя первое уравнение:
$с = 2б = 2 \cdot 4 = 8$
Сестре сейчас 8 лет.
Проверим: Сейчас брату 4 года, сестре 8 лет. Он младше в 2 раза ($8 / 4 = 2$). Два года назад ему было $4-2=2$ года, а сестре $8-2=6$ лет. Он был младше в 3 раза ($6 / 2 = 3$). Условия задачи выполняются.
Ответ: сейчас брату 4 года, а сестре 8 лет.