Номер 764, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.6. Решение задач с помощью уравнений. Глава 7. Многочлены - номер 764, страница 215.

764 а) Площадь квадрата равна площади прямоугольника, одна из сторон которого на $1 \text{ см}$ меньше стороны квадрата, а другая на $2 \text{ см}$ больше стороны квадрата. Найдите длину стороны квадрата и длины сторон прямоугольника.

б) Площадь квадрата на $63 \text{ см}^2$ больше площади прямоугольника. Одна из сторон прямоугольника на $3 \text{ см}$ больше, а другая на $6 \text{ см}$ меньше стороны квадрата. Найдите площадь квадрата.

а)

Пусть $x$ см – длина стороны квадрата. Тогда его площадь равна $S_{кв} = x^2$ см$^2$.
Согласно условию, одна сторона прямоугольника на 1 см меньше стороны квадрата, то есть ее длина составляет $(x - 1)$ см. Другая сторона на 2 см больше стороны квадрата, ее длина – $(x + 2)$ см.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $S_{пр} = (x - 1)(x + 2)$ см$^2$.
По условию задачи площади квадрата и прямоугольника равны. Составим и решим уравнение:
$x^2 = (x - 1)(x + 2)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$x^2 = x \cdot x + 2 \cdot x - 1 \cdot x - 1 \cdot 2$
$x^2 = x^2 + 2x - x - 2$
$x^2 = x^2 + x - 2$
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа – в другую:
$x^2 - x^2 - x = -2$
$-x = -2$
$x = 2$
Таким образом, длина стороны квадрата равна 2 см.
Теперь найдем длины сторон прямоугольника:
Первая сторона: $x - 1 = 2 - 1 = 1$ см.
Вторая сторона: $x + 2 = 2 + 2 = 4$ см.
Проверка: площадь квадрата $2^2 = 4$ см$^2$. Площадь прямоугольника $1 \cdot 4 = 4$ см$^2$. Площади равны.

Ответ: длина стороны квадрата – 2 см, длины сторон прямоугольника – 1 см и 4 см.

б)

Пусть $x$ см – длина стороны квадрата. Тогда его площадь равна $S_{кв} = x^2$ см$^2$.
По условию, одна сторона прямоугольника на 3 см больше стороны квадрата, то есть ее длина составляет $(x + 3)$ см. Другая сторона на 6 см меньше стороны квадрата, ее длина – $(x - 6)$ см. Важно отметить, что сторона должна иметь положительную длину, поэтому $x - 6 > 0$, то есть $x > 6$.
Площадь прямоугольника равна $S_{пр} = (x + 3)(x - 6)$ см$^2$.
По условию, площадь квадрата на 63 см$^2$ больше площади прямоугольника. Это означает, что $S_{кв} - S_{пр} = 63$. Составим и решим уравнение:
$x^2 - (x + 3)(x - 6) = 63$
Раскроем скобки:
$x^2 - (x^2 - 6x + 3x - 18) = 63$
$x^2 - (x^2 - 3x - 18) = 63$
$x^2 - x^2 + 3x + 18 = 63$
$3x + 18 = 63$
$3x = 63 - 18$
$3x = 45$
$x = \frac{45}{3}$
$x = 15$
Длина стороны квадрата равна 15 см. Это удовлетворяет условию $x > 6$.
Нас просят найти площадь квадрата.
$S_{кв} = x^2 = 15^2 = 225$ см$^2$.

Ответ: площадь квадрата равна 225 см$^2$.