Номер 771, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.6. Решение задач с помощью уравнений. Глава 7. Многочлены - номер 771, страница 216.

771 Мотоцикл, движущийся по шоссе со скоростью $40 \text{ км/ч}$, миновал бензоколонку. Через час мимо той же бензоколонки проехал автомобиль со скоростью $90 \text{ км/ч}$. На каком расстоянии от бензоколонки автомобиль догнал мотоциклиста?

Для решения этой задачи можно использовать два основных подхода: через составление уравнений движения или через понятие скорости сближения. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Составление уравнений движения

Пусть $S$ — искомое расстояние от бензоколонки, $t_м$ — время движения мотоцикла до места встречи, а $t_а$ — время движения автомобиля. Бензоколонку примем за точку отсчета ($0$ км).

Скорость мотоцикла $v_м = 40$ км/ч. Расстояние, которое он проедет, равно:

$S = v_м \cdot t_м = 40t_м$

Скорость автомобиля $v_а = 90$ км/ч. Расстояние, которое он проедет, равно:

$S = v_а \cdot t_а = 90t_а$

Так как они встретятся на одном и том же расстоянии $S$ от бензоколонки, мы можем приравнять правые части уравнений:

$40t_м = 90t_а$

По условию, автомобиль выехал на 1 час позже мотоциклиста. Это значит, что время движения мотоцикла было на 1 час больше, чем время движения автомобиля:

$t_м = t_а + 1$

Подставим это выражение для $t_м$ в наше равенство:

$40(t_а + 1) = 90t_а$

Теперь решим полученное уравнение относительно $t_а$:

$40t_а + 40 = 90t_а$

$90t_а - 40t_а = 40$

$50t_а = 40$

$t_а = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} = 0.8$ часа.

Это время, которое ехал автомобиль до встречи с мотоциклистом. Чтобы найти расстояние от бензоколонки, подставим это время в формулу пути для автомобиля:

$S = 90 \cdot t_а = 90 \cdot 0.8 = 72$ км.

Способ 2: Через скорость сближения

Когда автомобиль выехал от бензоколонки, мотоциклист уже был в пути 1 час и успел отъехать на некоторое расстояние. Найдем это расстояние (фору):

$S_{форы} = v_м \cdot 1\text{ч} = 40 \text{ км/ч} \cdot 1\text{ч} = 40$ км.

Автомобиль догоняет мотоциклиста. Скорость их сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_а - v_м = 90 \text{ км/ч} - 40 \text{ км/ч} = 50$ км/ч.

Теперь найдем время, за которое автомобиль преодолеет начальное расстояние в 40 км со скоростью сближения 50 км/ч:

$t = \frac{S_{форы}}{v_{сбл}} = \frac{40 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 0.8$ часа.

Это время, которое потребуется автомобилю, чтобы догнать мотоциклиста. За это время автомобиль проедет от бензоколонки расстояние:

$S = v_а \cdot t = 90 \text{ км/ч} \cdot 0.8 \text{ ч} = 72$ км.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: автомобиль догнал мотоциклиста на расстоянии 72 км от бензоколонки.