Номер 775, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.6. Решение задач с помощью уравнений. Глава 7. Многочлены - номер 775, страница 217.

775 Прогулочный речной катер на маршрут к базе отдыха и обратно затрачивает 2 ч 40 мин. На каком расстоянии от начала маршрута находится база отдыха, если собственная скорость катера 35 км/ч, скорость течения реки 5 км/ч и возле базы отдыха катер делает остановку на 1,5 ч?

Для решения этой задачи необходимо найти чистое время движения катера, определить его скорости по течению и против течения, а затем составить и решить уравнение относительно искомого расстояния.

1. Найдём чистое время движения катера.

Общее время, которое катер затратил на весь маршрут, включая остановку, составляет 2 часа 40 минут. Переведём это время в часы для удобства расчётов:

$T_{общ} = 2 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 2 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ ч.

Из этого времени нужно вычесть время стоянки, которое равно 1,5 часа:

$T_{стоянка} = 1,5 \text{ ч} = \frac{3}{2}$ ч.

Таким образом, время, которое катер непосредственно находился в движении (туда и обратно), составляет:

$T_{движ} = T_{общ} - T_{стоянка} = \frac{8}{3} - \frac{3}{2} = \frac{16}{6} - \frac{9}{6} = \frac{7}{6}$ ч.

2. Определим скорости катера.

Собственная скорость катера $v_{соб} = 35$ км/ч, а скорость течения реки $v_{теч} = 5$ км/ч.Когда катер плывёт по течению, его скорость складывается со скоростью течения:

$v_{по} = v_{соб} + v_{теч} = 35 + 5 = 40$ км/ч.

Когда катер плывёт против течения, его скорость уменьшается на скорость течения:

$v_{против} = v_{соб} - v_{теч} = 35 - 5 = 30$ км/ч.

3. Составим уравнение и найдём расстояние.

Пусть $S$ — искомое расстояние от начала маршрута до базы отдыха в километрах.Время, затраченное на путь по течению, равно $t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{S}{40}$ ч.Время, затраченное на путь против течения, равно $t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{S}{30}$ ч.Сумма времени движения в обе стороны равна чистому времени движения $T_{движ}$:

$t_{по} + t_{против} = T_{движ}$

$\frac{S}{40} + \frac{S}{30} = \frac{7}{6}$

Чтобы решить это уравнение, приведём дроби в левой части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 40 и 30 — это 120:

$\frac{3S}{120} + \frac{4S}{120} = \frac{7}{6}$

$\frac{7S}{120} = \frac{7}{6}$

Теперь можно выразить $S$. Разделим обе части уравнения на 7:

$\frac{S}{120} = \frac{1}{6}$

Отсюда находим $S$:

$S = \frac{120}{6} = 20$ км.

Ответ: расстояние от начала маршрута до базы отдыха составляет 20 км.