Номер 781, страница 218 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.7. Деление с остатком. Глава 7. Многочлены - номер 781, страница 218.

781 На какие классы разбивается множество неотрицательных целых чисел по остаткам от деления на 2? на 5? на 8? Приведите пример числа каждого вида.

Разбиение множества неотрицательных целых чисел (любого числа $a \ge 0$) на классы по остаткам от деления на натуральное число $n$ означает, что мы группируем все числа, которые дают одинаковый остаток $r$ при делении на $n$. Любое неотрицательное целое число $a$ можно единственным образом представить в виде $a = n \cdot q + r$, где $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток, причем $r$ может принимать значения от 0 до $n-1$ ($0 \le r < n$). Таким образом, при делении на $n$ существует ровно $n$ возможных остатков, и, следовательно, множество неотрицательных целых чисел разбивается на $n$ классов.

на 2

При делении на 2 возможны два остатка: 0 и 1. Следовательно, множество неотрицательных целых чисел разбивается на два класса:

• Класс с остатком 0: числа, которые делятся на 2 без остатка. Это все четные числа. Их можно представить в виде $2k$, где $k$ — любое неотрицательное целое число. Пример: 8 (так как $8 = 2 \cdot 4 + 0$).
• Класс с остатком 1: числа, дающие в остатке 1 при делении на 2. Это все нечетные числа. Их можно представить в виде $2k + 1$, где $k$ — любое неотрицательное целое число. Пример: 15 (так как $15 = 2 \cdot 7 + 1$).

Ответ: Множество разбивается на 2 класса: четные числа (остаток 0) и нечетные числа (остаток 1). Примеры: 8 (для остатка 0), 15 (для остатка 1).

на 5

При делении на 5 возможны пять остатков: 0, 1, 2, 3 и 4. Таким образом, множество неотрицательных целых чисел разбивается на пять классов:

• Класс с остатком 0: числа вида $5k$. Пример: 20 (так как $20 = 5 \cdot 4 + 0$).
• Класс с остатком 1: числа вида $5k+1$. Пример: 21 (так как $21 = 5 \cdot 4 + 1$).
• Класс с остатком 2: числа вида $5k+2$. Пример: 12 (так как $12 = 5 \cdot 2 + 2$).
• Класс с остатком 3: числа вида $5k+3$. Пример: 28 (так как $28 = 5 \cdot 5 + 3$).
• Класс с остатком 4: числа вида $5k+4$. Пример: 9 (так как $9 = 5 \cdot 1 + 4$).

Ответ: Множество разбивается на 5 классов по остаткам 0, 1, 2, 3, 4. Примеры: 20 (остаток 0), 21 (остаток 1), 12 (остаток 2), 28 (остаток 3), 9 (остаток 4).

на 8

При делении на 8 возможны восемь остатков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Таким образом, множество неотрицательных целых чисел разбивается на восемь классов:

• Класс с остатком 0: числа вида $8k$. Пример: 16 ($16 = 8 \cdot 2 + 0$).
• Класс с остатком 1: числа вида $8k+1$. Пример: 9 ($9 = 8 \cdot 1 + 1$).
• Класс с остатком 2: числа вида $8k+2$. Пример: 18 ($18 = 8 \cdot 2 + 2$).
• Класс с остатком 3: числа вида $8k+3$. Пример: 11 ($11 = 8 \cdot 1 + 3$).
• Класс с остатком 4: числа вида $8k+4$. Пример: 20 ($20 = 8 \cdot 2 + 4$).
• Класс с остатком 5: числа вида $8k+5$. Пример: 29 ($29 = 8 \cdot 3 + 5$).
• Класс с остатком 6: числа вида $8k+6$. Пример: 6 ($6 = 8 \cdot 0 + 6$).
• Класс с остатком 7: числа вида $8k+7$. Пример: 23 ($23 = 8 \cdot 2 + 7$).

Ответ: Множество разбивается на 8 классов по остаткам 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Примеры: 16 (остаток 0), 9 (остаток 1), 18 (остаток 2), 11 (остаток 3), 20 (остаток 4), 29 (остаток 5), 6 (остаток 6), 23 (остаток 7).