Номер 786, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.7. Деление с остатком. Глава 7. Многочлены - номер 786, страница 219.

786 Каждое из чисел $a$ и $b$ при делении на 3 даёт в остатке 1. Докажите, что их произведение при делении на 3 также даёт в остатке 1.

Согласно условию задачи, число a при делении на 3 даёт в остатке 1. Это можно записать в виде формулы деления с остатком:

$a = 3k + 1$

где k — некоторое целое число (неполное частное).

Аналогично, число b при делении на 3 также даёт в остатке 1, что можно записать как:

$b = 3m + 1$

где m — некоторое целое число.

Чтобы доказать утверждение, найдём произведение этих чисел ab, подставив вместо a и b их выражения:

$ab = (3k + 1)(3m + 1)$

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:

$ab = 3k \cdot 3m + 3k \cdot 1 + 1 \cdot 3m + 1 \cdot 1$

$ab = 9km + 3k + 3m + 1$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых и вынесем общий множитель 3 за скобки:

$ab = 3(3km + k + m) + 1$

Поскольку k и m являются целыми числами, их произведение, сумма и результат умножения на целое число также будут целым числом. Обозначим всё выражение в скобках как новое целое число q:

$q = 3km + k + m$

Тогда произведение ab принимает вид:

$ab = 3q + 1$

Эта запись означает, что при делении произведения ab на 3 получается целое число q (неполное частное) и остаток, равный 1. Это и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.